Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.FUNKCJERZECZYWISTEPÓŁCIĄGŁE
15
α(f)=lim
n→∞
fn(0)
n
,toistniejetakiexo∈[0,1],żeF(xo)=α(f).Wykazać
ponadto,żefmapunktstaływ[0,1]wtedyitylkowtedy,gdyα(f)=0.
(Porównaćzzadaniami1.1.40–1.1.42).
1.3.27.Niechf:[0,1]→Rbędziefunkcjątaką,żef(0)<0,f(1)>0.Załóżmy
ponadto,żeistniejefunkcjagciągłana[0,1]itaka,żef+gjestfunkcjąmale-
jącą.Udowodnić,żeistniejex∈(0,1),dlaktóregof(x)=0.
1.3.28.Niechf:R→[0,∞)będziefunkcjąróżnowartościowąprzekształcającą
Rna[0,∞).Wykazać,żefmanieskończeniewielepunktównieciągłości.
1.3.29.Jakwiemykażdąliczbęx∈(0,1)możnazapisaćwsystemiedwójkowym
0,a1a2a3...,gdzieai∈{0,1},i=1,2,...Gdyxmadwaróżnerozwinięcia
dwójkowe,wówczaswybieramytoznich,któremanieskończeniewielejedynek.
Funkcjęf:(0,1)→[0,1]określamywzorem
f(x)=lim
n→∞
n
1
i=1
Σ
n
ai.
Udowodnić,żefmawłasnośćDarbouxnaprzedziale(0,1)chociażniejest
ciągławżadnympunkcietegoprzedziału.
1.4FUNKCJERZECZYWISTEPÓŁCIĄGŁE
WrozdzialetymiwpozostałychprzezRoznaczamyzbiórliczbrzeczywistychzdołą-
czonymipunktami−∞i+∞.Ponadtoprzyjmujemyznaneumowyouporządkowaniu
idziałaniachalgebraicznychwtymzbiorze:
(i)
Dladowolnejliczbyrzeczywistejxmamy−∞<x<+∞orazx+∞=+∞,
x−∞=−∞,
+∞
x
=
−∞
x
=0.
(ii)Jeślix>0,tox·(+∞)=+∞,x·(−∞)=−∞.
(iii)Jeślix<0,tox·(+∞)=−∞,x·(−∞)=+∞.
DEFINICJA1.Kresemgrnym(dolnym)niepustegozbioruA⊂Rnazywamynajmniej-
szy(największy)elementzbioruRograniczającyAzgóry(zdołu).Kresytebędziemy
oznaczaćodpowiedniosupA(infA).
NiechfbędziefunkcjąrzeczywistąokreślonąnaniepustymzbiorzeA⊂R.
DEFINICJA2.Granicądolną(górną)funkcjifwpunkcieskupieniax0zbioruAna-
zywamykresdolny(górny)zbiorutakichy∈R,żeistniejeciąg{xn}punktówzbioruA
różnychodx0,zbieżnydox0itaki,żey=lim
n→∞
f(xn)}.Granicędolną(górną)funkcji
fwpunkciex0oznaczamysymbolemlim
f(x)(lim
f(x)).
x→xo
x→xo
