Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.3.16.Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąiróżnowartościową.Wykazać,że
fjestalbofunkcjąściślerosnącą,albościślemalejącą.
1.3.17.Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąiróżnowartościową.Wykazać,
żejeśliistniejentakie,żen-taiteracjatejfunkcjijestidentycznością,tzn.
fn(x)=xdlawszystkichx∈R,to
(a)f(x)=x,x∈R,jeślifjestfunkcjąściślerosnącą,
(b)f2(x)=x,x∈R,jeślifjestfunkcjąściślemalejącą.
1.3.18.Niechf:R→Rbędziefunkcjąspełniającąwarunekf(f(x))=f2(x)
=−xdlawszystkichx∈R.Wykazać,żefniemożebyćfunkcjąciągłą.
1.3.19.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→RmającewłasnośćDarbouxitakie,
żedlapewnegon∈Nmamy
fn(x)=−xdlax∈R,
gdziefnoznaczan-tąiteracjęfunkcjif.
1.3.20.Udowodnić,żejeślifunkcjaf:R→RmawłasnośćDarbouxif-1({q})
jestzbioremdomkniętymdlakażdegowymiernegoq,tofjestfunkcjąciągłą.
1.3.21.Niechf:(a,∞)→Rbędziefunkcjąciągłąograniczoną.Wykazać,że
dladowolnejliczbyrzeczywistejTistniejeciąg{xn}taki,że
n→∞
lim
xn=+∞
oraz
n→∞
lim
(f(xn+T)−f(xn))=0.
1.3.22.Podaćprzykładfunkcjiciągłejf:R→Rprzyjmującejkażdąswoją
wartośćdokładnietrzyrazy.Czyistniejefunkcjaciągłaf:R→Rprzyjmująca
każdąswojąwartośćdokładniedwarazy?
1.3.23.Niechf:[0,1]→Rbędziefunkcjąciągłąikawałkamiściślemonoto-
niczną.(Mówimy,żefjestkawałkamiściślemonotoniczna,jeśliprzedział[0,1]
możnapodzielićnaskończonąliczbęprzedziałów[ti-1,ti],gdziei=1,2,...
,n
oraz0=to<t1<...<tn=1,tak,żewkażdymztychprzedziałówfjest
ściślemonotoniczna).Udowodnić,żefprzyjmujepewnąswojąwartośćniepa-
rzystąliczbęrazy.
1.3.24.Niechf:[0,1]→Rbędziefunkcjąciągłąprzyjmującąkażdąswoją
wartośćskończonąliczbęrazy.Wykazać,żejeślif(0)/=f(1),toistniejetaka
wartość,którąfunkcjafprzyjmujenieparzystąliczbęrazy.
1.3.25.NiechK⊂Rbędziezbioremzwartyminiechf:K→Kbędziefunkcją
ciągłą.Załóżmy,żexo∈Kmatęwłasność,żekażdypunktskupieniaciągu
iteracji{fn(xo)}jestpunktemstałymfunkcjif.Wykazać,żeciąg{fn(xo)}
jestzbieżny.
1.3.26.Niechf:R→Rbędziefunkcjąrosnącą,ciągłąitaką,żefunkcjaF
określonawzoremF(x)=f(x)−xjestokresowaookresie1.Wykazać,żejeśli
