Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
DEFINICJA3.Mówimy,żefunkcjafjestpółciągłazdołu(zgóry)wpunkciex0∈A
będącympunktemskupieniazbioruA,jeślilim
f(x)≥f(x0)(lim
f(x)≤f(x0)).
x→xo
x→xo
Jeślix0jestpunktemizolowanymzbioruA,toprzyjmujemy,żefunkcjafjestpółciągła
zarównozdołu,jakizgórywtympunkcie.
1.4.1.Niechf:A→RiniechxobędziepunktemskupieniazbioruA.Wykazać,
że
(a)lim
f(x)=supδ>oinf{f(x):x∈A∧0<|x−xo|<δ},
x→xo
(b)lim
x→xo
f(x)=infδ>osup{f(x):x∈A∧0<|x−xo|<δ}.
1.4.2.Niechf:A→RiniechxobędziepunktemskupieniazbioruA.Wykazać,
że
(a)lim
x→xo
f(x)=lim
δ→o+
inf{f(x):x∈A∧0<|x−xo|<δ},
(b)lim
x→xo
f(x)=lim
δ→o+
sup{f(x):x∈A∧0<|x−xo|<δ}.
1.4.3.Udowodnić,żenato,abyliczbarzeczywistayobyłagranicądolnąfunkcji
f:A→RwpunkciexobędącympunktemskupieniazbioruA,potrzeba
iwystarcza,byspełnionebyłynastępującedwawarunki:
(i)dladowolnegoε>0istniejetakaδ>0,żedlawszystkichx∈A,
0<|x−xo|<δ=⇒f(x)>yo−ε,
(ii)dladowolnegoε>0idowolnejδ>0istniejetakiex!∈A,że
0<|x!−xo|<δorazf(x!)<yo+ε.
Podaćanalogicznewarunkirównoważneistnieniuskończonejgranicygórnej
funkcjifwpunkciexo.
1.4.4.Załóżmy,żef:A→RiżexojestpunktemskupieniazbioruA.Wykazać,
że
(a)lim
f(x)=−∞wtedyitylkowtedy,gdydlakażdegoy∈Ridowolnej
x→xo
δ>0istniejetakiex!∈A,że
0<|x!−xo|<δorazf(x!)<y,
(b)lim
x→xo
f(x)=+∞wtedyitylkowtedy,gdydlakażdegoy∈Ridowolnej
δ>0istniejetakiex!∈A,że
0<|x!−xo|<δorazf(x!)>y.
1.4.5.Załóżmy,żef:A→RiżexojestpunktemskupieniazbioruA.Wykazać,
żejeślil=lim
x→xo
f(x)(L=lim
x→xo
f(x)),toistniejeciąg{xn}punktówzbioruA
różnychodxo,zbieżnydoxooraztaki,żel=lim
n→∞
f(xn)(L=lim
n→∞
f(xn)).
