Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.5.1.Zbadać,którezpodanychniżejfunkcjisąjednostajnieciągłenaprzedziale
(0,1)?
(a)f(x)=ex,
(b)f(x)=sin
(d)f(x)=e1/x,
x
1
,
(c)f(x)=xsin
(e)f(x)=e-1/x,
1
x
,
(f)f(x)=excos
(h)f(x)=cosx·cos
1
x
,
π
x
,
(g)f(x)=lnx,
(i)f(x)=ctgx.
1.5.2.Zbadać,którezpodanychniżejfunkcjisąjednostajnieciągłenaprzedziale
[0,∞)?
(a)f(x)=√x,
(c)f(x)=sin
(e)f(x)=ex,
(g)f(x)=sin(sinx),
(i)f(x)=sin√x.
2x,
(b)f(x)=xsinx,
(d)f(x)=sin(x2),
(f)f(x)=esin(x
(h)f(x)=sin(xsinx),
2),
1.5.3.Załóżmy,żefunkcjafjestjednostajnieciągłanaprzedziale(a,b),a,b∈R.
Wykazać,żeistniejąskończonegranicelim
f(x)orazlim
f(x).
x→a+
x→b-
1.5.4.Załóżmy,żefunkcjef,gsąjednostajnieciągłena(a,b)([a,∞)).Czy
wynikastądciągłośćjednostajnafunkcji
(a)f+g,
(b)fg,
(c)x→f(x)sinx
na(a,b)([a,∞))?
1.5.5.
(a)Wykazać,żejeślifunkcjafjestjednostajnieciągłana(a,b]ina[b,c),to
jestonajednostajnieciągłana(a,c).
(b)NiechA,BbędązbioramidomkniętymiwRiniechf:A∪B→Rbędzie
funkcjąjednostajnieciągłąnakażdymztychzbiorów.Czywynikastądciągłość
jednostajnafunkcjifnaA∪B?
1.5.6.Udowodnić,żefunkcjaokresowaiciągłanaRjestjednostajnieciągła.
1.5.7.
(a)Niechf:R→Rbędziefunkcjąciągłąmającąskończonegranicelim
x→-∞
f(x)
orazlim
x→∞
f(x).Udowodnić,żefjestfunkcjąjednostajnieciągłąnaR.
(b)Niechf:[a,∞)→Rbędziefunkcjąciągłąmającąskończonągranicę
x→∞
lim
f(x).Udowodnić,żefjestfunkcjąjednostajnieciągłąna[a,∞).
1.5.8.Zbadaćciągłośćjednostajnąfunkcji
(a)f(x)=arctgxnaprzedziale(−∞,∞),
(b)f(x)=xsin
x
1
naprzedziale(0,∞),
(c)f(x)=e-1/xnaprzedziale(0,∞).
