Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Otojestgłowazdrajcy…
wnastępującysposób:zgodnieztwierdzeniemPitagorasakwadratdłu-
gościprzekątnejkwadratujestdwarazywiększyodkwadratudługości
jegoboku.Używającdzisiejszegojęzyka,stosunekdługościprzekątnej
ibokukwadratu,czyli2,niemożebyćprzedstawionyjakostosunek
dwóchliczbcałkowitychdodatnich.Niejestwięcliczbąwymierną(dzisiej-
szaterminologia);bokkwadratuijegoprzekątnaniesąwspółmierne,
jakbyzezgroząizapewnezniedowierzaniempowiedziałPitagoras.
Prostygeometrycznydowódniewymierności2pokazujeponiższy
rysunek(mójopisniebędziejednaksformalizowanymdowodem,atylko
jegoszkicem).Duży,pierwszyodlewejkwadratmabokodługościa1
iprzekątnąodługościp1=a12.Załóżmy,żebokiprzekątnasą
współmierne,toznaczysąwielokrotnościamipewnejwartościk.Mamy
wtedya
1=nkorazp
1=mk,gdzienimtoliczbynaturalne.Wtedyzachodzi
2
=
m
n
,
czyli
2jeststosunkiem,amówiącjęzykiemdzisiejszymliczbą
wymierną.Konstrukcja,wykorzystującajedyniecyrkielilinijkę,
zrysunku(jestoczywistaichybaniewymagaobjaśnień)pokazuje,
żezakładającwspółmiernośćbokuiprzekątnejkwadratu,dochodzimy
dosprzeczności.
a
1
p
1
a
p
2
2
a
p
3
3
a
4
Drugikwadratodlewejstronymabokodługościa
2=p
1–a
1=
=k(m–n),awięcjestwspółmiernyza
1.Bokikolejnychkwadratów
31
