Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Popierwsze,trzebasformalizowaćzagadnienie,czylinadaćmatematyczny
wyrazżądaniuBernoulliego;robimytozapomocąwzoruwynikającegozdefini-
cjiprędkościwnaturalnymsposobiezadaniaruchu,czyli
t
AB
±∫
B
A
ds
U
(0.24)
gdzie:s-współrzędnatorowa,
U
-prędkośćpunktuponieznanymjeszczetorze.
Zauważmy,żewstępnesformułowaniezagadnieniamapostaćfunkcjonału.Cho-
ciażnarazieniewidaćwyraźniefunkcji,którejposzukujemy,tojednakmożnaso-
bieuświadomić,żedlakażdegotoruzewzoru(0.24)otrzymujemypewnąliczbę
(wyrażonąwjednostceczasu)imusimyznaleźćtakitor,dlaktóregoliczbatajest
najmniejsza-otoistotaproblemu.
Wujęciumatematycznymuogólnionezagadnieniebrachistochronymoż-
nasformułowaćtak:danajestfunkcja
Fyyx
!
;)
nieznanejkrzywej
yxijej
()
(,
pierwszejpochodnej.Należyznaleźćtękrzywą,któracałce
Iyx
[()]
±∫
b
a
Fyyxdx
!
,)
(,
(0.25)
nadajewartośćekstremalną,przyczymdanesąwartościkrańcowe,czylinapo-
czątkuinakońcukrzywej
ya
()
±
A
,
yb
()
±
B
(0.26)
Krzywa,któraspełniawarunki(0.26)iekstremalizujecałkę(0.25),nazywana
jestekstremalą.
Powyższesformułowaniemożnaznówuogólnić,zakładając,żefunkcjapod-
całkowaFzależynietylkoodfunkcjiniewiadomej
yxijejpierwszejpochod-
()
nej,alerównieżodpochodnychwyższychrzędówlubodwiększejliczbyfunkcji.
Wtymwypadkumusimyprzyjąć,żepewnewarunkikrańcowespełnianietylko
samafunkcja,aleiniektórejejpochodne(patrzrozdz.2).
Mamyzatemróżnetypyfunkcjonałów.Niezależniejednakodstopniazłożo-
nościfunkcjonałusposóbpostępowaniajesttakisam!Polegaonnatym,żewy-
obrażamysobieróżnetory,np.prostą,sinusoidę,parabolę,idlakażdegotoru
obliczamyczaswgwzoru(0.24).Ponieważtorówjestnieskończeniewiele,więc
tejzabawiemożnaoddawaćsięwiecznie!
Rachunekwariacyjnydostarczanamnarzędzia,którepozwalauniknąćposzu-
kiwaniaekstremalimetodąpróbibłędów.Jestnimrównaniesformułowaneprzez
Eulerawroku1744:
B
B
F
y
-
dxy
d
B
B
F
!
±
0
(0.27)
25
