Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
którezewzględunazastosowaniapodaneprzezLagrange’anosinazwęrównania
Eulera-Lagrange’a.Równanie(0.27)możnatraktowaćjakoalgorytmwyznacza-
niaekstremali:wykonajwskazanedziałaniaróżniczkowania,utwórzrównanie,
wyznaczekstremalę()
yxzwykrzystaniemwarunkówkrańcowych.
Należydobrzesobiezapamiętać,żekażdytypfunkcjonałumaodpowiednie
równanieEulera-Lagrange’a,którezewzględówhistorycznychnosizwyklena-
zwęodnazwiskajegotwórcy(np.równanieEulera-Poissonadlafunkcjonału,
wktórymfunkcjapodcałkowaFzależytakżeodpochodnychwyższychrzędów;
takifunkcjonałwystępujenp.dlaliniiugięciabelki).
0.5.ZASTOSOWANIEZASADYHAMILTONA
DOMODELOWANIADRGAŃPOPRZECZNYCH
STRUNY
Wariacyjnemodelowaniezjawiskfizycznychzostanieprzedstawionenapro-
stymprzykładzie.Wtymceluzastosujemypodstawowązasadęwariacyjną,jaką
jestzasadaHamiltona;należyonadoklasyzasadcałkowych.Zgodnieznią,spo-
śródwszystkichmożliwych,tzn.zgodnychzwięzamiruchówukładu,wrzeczy-
wistościrealizujesięten,dlaktóregofunkcjonał
S
±
t
t
∫
1
0
(
TVdt
-
)
(0.28)
zwanydziałaniemwsensieHamiltonaosiągaekstremum.Wdefinicji(0.28)t
0
it
koznaczająchwilępoczątkowąikońcową,zaśTiVsąodpowiednioenergią
kinetycznąipotencjalnąukładu.
Abyskorzystaćzewzoru(0.28),należyobliczyćenergiękinetycznąTipo-
tencjalnąVkonkretnegoobiektu.Większośćważnychwzorówjestpodana
wrozdz.5,poświęconymtylkowyznaczaniuenergii.Załóżmy,żemamystrunę
naciągniętąsiłamiNnakońcachwzdłużosiOxiwykonującądrganiapoprzeczne
wpłaszczyźnie(x,y)(zob.rys.0.8).
Rys.0.8
26
