Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
Logika
PRZYKŁAD1.1.Sprawdzić,czyzdanie(p∧q)∨(¬p∨¬q)jesttautologią.
ROZWIĄZANIE.Naszymzadaniemjestrozstrzygniecie,czypodanezdaniejest
zawszeprawdziwe.Wzdaniuwystępujądwiezmiennelogiczne:piq.Każdamoże
przyjmowaćwartość0(fałsz)lub1(prawda).Należysprawdzić,czyprzykażdym
układziewartościzmiennychpiqzdaniejestprawdziwe.Możnatozrobić,stosując
„brutalnąsiłę”,czyliwypisującna-
stępującątabelkęlogiczną(zupeł-
nietaksamojakwprzykładzie
wksiążce,umieszczonymnakoń-
cupodrozdz.1.2).Wpierwszej
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∧q
0
0
0
1
¬p∨¬q
1
1
1
0
wynikzdania
1
1
1
1
kolumnietabelkibędziepodana
wartośćzmiennejp,wdrugiejq,
wtrzeciejiczwartejodpowiednio
wartościwyrażeńp∧qi¬p∨¬q(tedwiekolumnyniesąkoniecznedouzyska-
niarozwiązania,aletoułatwiąizmniejsząryzykopomyłki).Wostatniejkolumnie
podamywartośćzdaniaprzyodpowiednichwartościachpiq.
Dlawszystkichmożliwychukładówzmiennychpiqzdaniejestprawdziwe,czyli
jesttotautologia.
Wtymprzypadkumożemyuniknąćwypisywaniatabelki,przeprowadzającna-
stępującerozumowanie.Spróbujmysprawdzić,czymogąistniećtakiewartościpiq,
byzdaniebyłofałszywe.Abytakbyło,koniecznejest,byobiestronyalternatywy,
czylip∧qi¬p∨¬q,byłyfałszywe.Pierwszewyrażeniebędziefałszywe,gdy
przynajmniejjednazezmiennychplubqbędziefałszywa.Przypuśćmy,żejestto
p(czyliplfałszl0).Wtedy¬pl1,azatemalternatywabędzieprawdziwa
(bojedenzjejczłonówjestprawdziwy),natomiastjeśliql0,toanalogicznerozu-
mowanieprowadzidotakiegosamegowniosku.Zatemwyrażenienigdyniebędzie
fałszywe,czylizawszejestprawdziwe,awięczgodniezdefinicją1.3zksiążkijest
tautologią.
Trzecimsposobemnarozwiązanietegozadaniajestzastosowaniepierwszego
zprawdeMorgana(por.tautologia3wksiążce,podrozdz.1.3).Wiemy,żenega-
cjakoniunkcjijestalternatywąnegacji,azatem¬p∨¬ql¬(p∧q).Stądzdanie
wyjściowejestrównoważnezdaniu(p∧q)∨¬(p∧q)l1,gdyżalternatywazda-
