Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Zbiórzadańzmatematykidlabiologów
niaizdaniaprzeciwnegojestzawszetautologią(por.prawowyłączonegośrodka–
wksiążcetautologia2,podrozdz.1.3).
PRZYKŁAD1.2.Sprawdzić,czyzdanie((p∧q)∨(p∧r))⇐⇒(q∨r)jest
tautologią.
ROZWIĄZANIE.Postępujemyanalogiczniejakwpoprzednimprzykładzieikon-
struujemytabelkę:
p
0
1
0
0
1
1
0
1
q
0
0
1
0
1
0
1
1
r
0
0
0
1
0
1
1
1
p∧q
0
0
0
0
1
0
0
1
p∧r
0
0
0
0
0
1
0
1
(p∧q)∨(p∧r)
0
0
0
0
1
1
0
1
q∨r
0
0
1
1
1
1
1
1
wynikzdania
1
1
0
0
1
1
0
1
Rachunkimożnazakończyćnatrzecimwierszutabelki:otrzymujemy,żewprzy-
padkugdypirsąfałszywe,zaśqjestprawdziwe,tocałezdaniejestfałszywe,aza-
temniejesttautologią.
Możemyrównieżrozumowaćwsposóbnastępujący:abyzdaniebyłoprawdziwe,
zdania,którepojawiająsiępoprawejilewejstronieoperatora⇐⇒musząmiećtę
samąwartość.Zatem,jeśliqbędzieprawdziwe,toprawastronabędzieprawdziwa.
Terazwystarczypołożyćpfałszyweilewastronajestfałszywa.Ztegowynika,że
zdaniejestfałszywedlaql1,pl0idowolnegor,czyliniejesttautologią.
PRZYKŁAD1.3.Znaleźćzdaniarównoważneorazzaprzeczeniazdań:
a)«Jeślijutrobędziepadałdeszcz,topójdędokina».
b)«Jeślijutrobędzieświeciłosłońceibędzieciepło,towybioręsięnaspacer».
ROZWIĄZANIE.(por.równieżksiążka,podrozdziały1.2i1.3).
a)Zdaniemożemypodzielićnadwieczęści:pl«jutrobędziepadałdeszcz»oraz
ql«(jutro)pójdędokina».Zdaniezzadaniamożnazatemzapisaćsymbolicznie
jako:p1⇒q.Stąd,zdefinicjiimplikacjiwiemy,żejestonorównoważnezdaniu:
¬p∨ql«Jutroniebędziepadałdeszczlubpójdędokina».
Wpodobnysposóbzaprzeczymytemuzdaniu(korzystajączprawdeMorgana):
¬(p1⇒q)l¬(¬p∨q)lp∧¬ql«Jutrobędziepadałdeszcziniepójdę
dokina».
b)Tozdaniemożemypodzielićnatrzyczęści:pl«jutrobędzieświeciłosłońce»,
ql«(jutro)będzieciepło»,rl«(jutro)wybioręsięnaspacer»isymbolicznie
zapisaćjako:(p∧q)1⇒r.Jestonorównoważnezdaniu:¬(p∧q)∨rl¬p∨
¬q∨rl«Jutroniebędzieświeciłosłońcelubniebędzieciepło,lubwybioręsię
naspacer».
