Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
KrzywaMarkowitzajakoobwiednia
R
S
a
33
a
34
g
a
3
N
V
W
R
S
b
3
V
W
A
=
S
S
S
a
g
43
a
g
44
g
g
a
g
4
N
W
W
W
B
=
S
S
S
g
b
4
W
W
W
Z
T
=
7
xx
3
4
f
x
N
A
,
,
,
S
S
T
a
N
3
a
N
4
g
a
NN
W
W
X
S
S
T
b
N
W
W
X
związektenmożnazapisaćwpostaci:
s
2=
P
ZAZ
T
–
2
BZ
T
+
c
,
9
(13)
przyczymZnależydoRN–2.
Zależność(13)jestjednorównaniowymopisemzbiorumożliwościinwesty-
cyjnych.
ZmiennaniezależnaE
P(wartośćoczekiwanaportfela)występujewskładnikuc
orazwB.DlaustalonejwartościoczekiwanejE
0składnikcmożnainterpretować
jakowariancjęportfelazestawionegozinwestycjiA
1(s
1,E
1)iA
2(s
2,E
2)oudziałach
x
1
=
E
E
0
1
–
–
E
E
2
2
oraz
x
2
=
E
E
1
1
–
–
E
E
0
2
.
SkładnikZTAZjestjednorodnąformąkwadratowąN–2zmiennychx
3,x
4,…,x
N.
Fakt1:MacierzAwystępującawewzorze(13)jestdodatniookreślona.Dowód
powyższegownioskuwynikazfaktu,żewariancjaprzyjmujewartościnieujemne,
dowolnieduże.GdybymacierzAbyłaokreślonaujemnielubpółokreślona
ujemnie,toformakwadratowa(13)osiągałabymaksimum,ajejwartościmogłyby
byćujemne,coprowadzidosprzeczności.GdybymacierzAbyłanieokreślona,
toforma(13)przyjmowałabywartościdodatnieiujemne,coteżprowadzido
sprzeczności.Gdyby
A
=
0
,
tozpostacikanonicznejdotyczącejtakiegoprzy-
padkuwynika,żealboistniałobynieskończeniewieleglobalnychportfelimini-
malnegoryzyka,alboforma(13)mogłabyprzyjmowaćwartościujemne,co
prowadzidosprzecznościztym,żejesttowariancja.
DlazadanejwartościoczekiwanejE
0wariancja(13)jestniejednorodnąformą
kwadratowąN–2zmiennychx
3,…,x
NodziedzinieRN–2.Zadającdowolne
wartościnazmiennex
3,…,x
N,otrzymujemywariancjeportfelizestawionych
zinwestycjibazowych,którychwartośćoczekiwanajestrównaE
0.
3.Obwiednia
Przedstawieniezbiorumożliwościinwestycyjnychwpostaci(13),czylijako
rodzinykrzywychzależnychodparametrów,stwarzamożliwośćposzukiwania
jejobwiedni.Wtymcelunależyrozwiązaćukładdwóchrównań(por.np.[Fich-
tencholz1964]):równaniekrzywychorazpochodnategorównaniawzględem
parametrówprzyrównanadozera,czyliukładrównań:
