Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
KrzysztofGuzik,EdwardSmaga
*
s
2
p
AZ
2=
ZAZ
–
T
2
B
=
–
0
2
BZ
T
+
c
.
(14)
ZdrugiegoztychrównańotrzymujemyZ=A–1·B,copopodstawieniudo
pierwszegorównaniadajerównanieobwiedni.
Fakt2:Obwiedniazbiorumożliwościinwestycyjnychmarównanie:
s
2
P
=
–
BAB
T
–
1
+
c
,
(15)
gdzieA,Bicmająznaczenietakiejakw(13).
Zewzględunatematniniejszegoartykułu,istotneznaczeniemanastępujące
twierdzenie:
Twierdzenie:Obwiedniazbiorumożliwościinwestycyjnychpokrywasięzkrzywą
Markowitzategozbioru.
Dowód.Należywykazać,żekażdypunktobwiednijestpunktemminimalnego
ryzyka(czylinależydokrzywejMarkowitza),inaodwrót–każdypunktminimal-
negoryzykanależydoobwiedni.
Niech
_
sE
2
0
,
0
i
będziepunktemobwiedni(15).Wówczaspunkttenspełnia
układrównań(14),czyli:
s
2
0
=
ZAZ
T
–
2
BZ
T
0
+
c
0
,
dlaZ=A–1·B
0,
gdzieB
0ic
0oznaczająwektoryBicdlaE=E
0.
Formakwadratowa:
PZ
_i
=
ZAZ
T
–
2
BZ
0
T
+
c
0
osiągaminimumdlaZ
0=A–1·B
0(por.np.[AntoniewicziMisztal1999,s.185]).
Rzeczywiście,uwzględniającfakt,że:
ZAZ
T
0
=
_
ZAZ
T
T
0
i
T
=
_
ZAZ
T
0
i
T
=
ZAZ
T
0
=
ZB
T
0
,
ZB
T
0
=
_
ZB
T
0
i
T
=
BZ
T
0
oraz
ZB
T
0
0
=
BZ
T
0
0
,
dladowolnegoZ≠Z
0jest:
P
_
Z
i
–
PZ
_
0
i
=
ZAZ
T
–
2
BZ
T
0
+
c
0
–
_
ZAZ
T
0
0
–
2
BZ
T
0
0
+
c
0
i
=
=
_
Z
–
Z
0
i
T
AZ
_
–
Z
0
i
≥
0
.
Punkt
_
sE
2
0
,
0
i
jestzatempunktemminimalnegoryzyka,czylinależydokrzywej
Markowitza.
Załóżmyzkolei,że
_
sE
2
0
,
0
i
należydokrzywejMarkowitza.Jesttozatempunkt,
wktórymformakwadratowa:
PZ
_i
=
ZAZ
T
–
2
BZ
0
T
+
c
0
