Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
Zadania.1.Przestrzenielinioweiichpodzbiory
1.B.24.
Rozważmyσ-ciałoΣwszystkichpodzbiorówA⊂[0j1]takich,żep(A)=0
lubp(A)=1,gdziepoznaczajednowymiarowąmiaręLebesgue’a.Spraw-
dzić,żedladowolnegop∈(0j+∞),dim(Lp([0j1]jΣjp))=1,natomiast
dim(Lp([0j1]jΣjp))=+∞.
1.B.25.
Wykazać,żezbiórcoowszystkichciągówx=(xn)owyrazachzciałaK,
wktórychtylkoskończeniewielewyrazówxnjestróżnychodzera,jestpod-
przestrzeniąliniowąprzestrzenicoiznaleźćbazęHamelatejpodprzestrzeni.
1.B.26.
JeżeliV,WsąprzestrzeniamiliniowyminadciałemK,toiloczynkartezjań-
skiV×Wjestprzestrzeniąliniowązdziałaniamiokreślonymiwnastępujący
sposób:
(x1,x2)+(y1jy2)=(x1+y1jx2+y2)j
A(x1jx2)=(Ax1jAx2)
dlawszystkichliczbA∈Kidowolnych(x1,x2)j(y1jy2)∈V×W.
NiechB=(bt)t∈T
1
orazC=(ct)t∈T
2
będąbazamiHamelaodpowiednioprze-
strzeniViW.WyznaczyćbazęHamelaprzestrzeniV×W.
1.B.27.
DanajestprzestrzeńliniowaVijejpodprzestrzeńW.NiechB=(bt)t∈T
o
będziebaząHamelaprzestrzeniV,aT1⊂Tobędzietaki,że(bt)t∈T
1
jestbazą
HamelaprzestrzeniW.WyznaczyćbazęHamelaprzestrzeniV/W.
1.B.28.
Niech0<p<q<∞.Wykazać,żelp⊂lq.
1.C.Zadaniatrudne
1.C.1.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąwσ-cieleΣpodzbiorówzbioruΩ.
Udowodnić,żejeżelif∈Lp(ΩjΣjp),g∈Lq(ΩjΣjp),pjq>1i1
p+1
q=1jto
zachodzinierówność,zwananierównościąHöldera,
1
1
/
Ω
|fg|dp<(/
Ω
|f|pdp)
p(/
Ω
|g|qdp)
q
.
(1.1)
1.C.2.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąwσ-cieleΣpodzbiorówzbioruΩ.
Udowodnić,żejeżelifjg∈Lp(ΩjΣjp)ip>1jtozachodzinierówność,zwana
nierównościąMinkowskiego,
1
1
1
(/
Ω
|f+g|pdp)
p
<(/
Ω
|f|pdp)
p
+(/
Ω
|g|pdp)
p
.
(1.2)
1.C.3.
Niechpjq>1i1
p+1
q=1.Udowodnić,żejeżeli(xn)∈lp,(yn)∈lq,to
zachodzinastępującanierównośćHölderadlaciągów:
Σ
nl1
∞
|xnyn|<(
Σ
nl1
∞
|xn|
p)
1
p(
Σ
nl1
∞
|yn|
q)
1
q
.
