Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1
Przestrzenielinioweiichpodzbiory
WzbiorzetymKbędzieoznaczaćciałoRliczbrzeczywistychalbociałoCliczb
zespolonych.NiechVbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK,AjB⊂Vbędą
zbioraminiepustymiit∈K.Będziemystosowaćnastępująceoznaczenia:
A+B={a+b:a∈Ajb∈B}j
A−B={a−b:a∈Ajb∈B}j
tA={ta:a∈A}.
ZbiórA+BbędziemynazywaćsumąalgebraicznązbiorówAiB.Jeżelix∈V,
tobędziemypisaćx+Azamiast{x}+A.Ponadtopiszemy−Azamiast(−1)A.
Przyjmujemyponadto,żeA+∅=Ait·∅=∅.
NiechW⊂VbędziepodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniV.Dlax∈Vzbiór
x+WbędziemynazywaćwarstwąwektoraxwzględempodprzestrzeniW.Sym-
bolV/Wbędzieoznaczaćzbiórwszystkichwarstw,tzn.
V/W={x+W:x∈V}.
Zbiórtenjestprzestrzeniąliniowązdziałaniamiokreślonymiwnastępującyspo-
sób:
(x+W)+(y+W)=(x+y)+Wj
t(x+W)=tx+W
dlawszystkichxjy∈Vjt∈K.Przestrzeńtęnazywamyprzestrzeniąilorazową
przestrzeniVprzezpodprzestrzeńW.
NiechA⊂Vbędziezbioremniepustym.Zbiórwszystkichkombinacjilinio-
wychwektorówzezbioruAjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniV.Nazywa-
myjąpodprzestrzeniągenerowaną(rozpinaną)przezzbiórAioznaczamy
symbolemLin(A).Natomiastzbiórwszystkichkombinacjiwypukłychwektorów
zezbioruAnazywamypowłokąwypukłą(albootoczkąwypukłą)tegozbioru
ioznaczamysymbolemConv(A).
ZbiórA⊂Vnazywamyzbioremgwiaździstymwzględempunktua∈A,
jeżelidladowolnegob∈AodcinekokońcachaibzawierasięwA.ZbiórAjest
gwiaździsty,jeżeliistniejepunkta∈Ataki,żeAjestzbioremgwiaździstym
względemtegopunktu.
