Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
Zadania.1.Przestrzenielinioweiichpodzbiory
przestrzeńwszystkichfunkcjimierzalnychf:Ω→K,któresąistotnieograniczone
(zob.zad.1.A.4).Zkoleidlap∈(0j+∞)przezLp(ΩjΣjp)oznaczamyprzestrzeń
wszystkichfunkcjimierzalnychf:Ω→K,dlaktórych
/
Ω
|f|pdp<+∞
(zob.zad.1.B.1).ZbiórLo(ΩjΣjp)wszystkichfunkcjirównych0prawiewszędzie
jestpodprzestrzeniąliniowąkażdejztychprzestrzeni(zob.zad.1.A.3).Przestrzeń
ilorazowąL∞(ΩjΣjp)/Lo(ΩjΣjp)oznaczamyprzezL∞(ΩjΣjp).Natomiastprze-
strzeńilorazowąLp(ΩjΣjp)/Lo(ΩjΣjp)oznaczamyprzezLp(ΩjΣjp).
WpewnychprzypadkachLo(ΩjΣjp)={0}.Wtedyutożsamiamyprzestrzeń
Lp(ΩjΣjp)zLp(ΩjΣjp)iL∞(ΩjΣjp)zL∞(ΩjΣjp).Występujetonp.dlamiary
liczącejwniepustymzbiorzeT.Jesttomiarapokreślonanaσ-ciele2Twszystkich
podzbiorówzbioruTwnastępującysposób:p(A)=0,gdyA=∅,p(A)=k,
gdyA⊂Tjestzbioremk-elementowym,awprzypadku,gdyTjestzbiorem
nieskończonym,p(A)=∞dlakażdegonieskończonegozbioruA⊂T.
DlamiaryliczącejpwzbiorzeTzamiastLp(Tj2Tjp)piszemylp(T)albolp,
jeśliT=N.Taostatniaprzestrzeńjestprzestrzeniąwszystkichciągówa=(an)
owyrazachnależącychdoK,spełniającychwarunek
Σ
nl1
∞
|an|
p<+∞
(zob.zad.1.C.11).
PrzestrzeńL∞(Tj2Tjp)jestpoprostuprzestrzeniąwszystkichfunkcjiograni-
czonychf:T→K.Wszczególnymprzypadku,gdyT=N,przestrzeńtęoznacza-
myprzezl∞.Będziemytakżerozważaćpodprzestrzenieliniowecicoprzestrze-
nil∞złożoneodpowiedniozewszystkichciągówzbieżnychiwszystkichciągów
zbieżnychdo0(zob.zadania1.A.7i1.A.8).Podprzestrzeniąprzestrzenicojest
przestrzeńcoowszystkichciągówmającychconajwyżejskończeniewielewyrazów
różnychodzera(zob.zad.1.B.25).
1.A.Zadaniałatwe
1.A.1.
NiechXbędziezbioremniepustym.Udowodnić,żezbiórMap(XjK)wszyst-
kichfunkcjif:X→Kzdziałaniamiokreślonymiwzorami:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)j
(tf)(x)=tf(x)
dlawszystkichx∈Xit∈K,jestprzestrzeniąliniowąnadciałemK.
1.A.2.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąwσ-cieleΣpodzbiorówzbioruΩ.
Udowodnić,żezbiórM(ΩjΣjp)wszystkichfunkcjif:Ω→Kmierzalnych
(względemmiaryp)jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniMap(ΩjK).
