Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Zadania.2.Przestrzenieunormowane
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffalokalniezwartą.Stan-
dardowąnormęwprzestrzeniM(X)(zob.zad.1.C.18)określawzór
"p"=|p|(X)
(zob.zad.2.C.3).
StandardowąnormąwprzestrzeniLp(ΩjΣjp),gdziep∈[1j+∞)(zob.zad.
2.A.7)jestnorma
"[f]"=(/
Ω
|f|pdp)
p
1
dladowolnejwarstwy[f]∈Lp(ΩjΣjp),[f]=f+Lo(ΩjΣjp)(zob.zad.1.A.3).
Zgodnieztradycjąprzyjętąwanaliziefunkcjonalnejbędziemyidentyfikowaćwar-
stwy[f]=f+Lo(ΩjΣjp)zichreprezentantamifibędziemypisać
"f"=(/
Ω
|f|pdp)
p
1
.
UwagatadotyczyćbędzietakżeprzestrzeniL∞(ΩjΣjp)(zob.zad.2.B.2),gdzie
normastandardowadanajestwzorem
"f"=supess
x∈Ω
|f(x)|.
JeżelipjestmiarąLebesgue’awzbiorzemierzalnymΩ⊂KniΣjestσ-ciałemmie-
rzalnychpodzbiorówΩ,tozamiastLp(ΩjΣjp)piszemyLp(Ω)(gdzie1<p<∞).
Wprzestrzeniachlp,gdziep∈[1j+∞)(zob.zad.1.C.11),standardowąnormę
określawzór
"x"=(
Σ
nl1
∞
|xn|
p)
p
1
dlax∈lp,x=(xn).
Niechn∈N.Dlax∈Kn,x=(x1j...jxn)oznaczamy
"x"
(n)
p
=(
Σ
jl1
n
|xj|
p)
1
p
(gdziep∈[1j+∞))oraz
"x"
(n)
∞=max
1<j<n
|xj|.
Normę"·"
(n)
2
nazywamynormąeuklidesowąwKn.
2.A.Zadaniałatwe
2.A.1.
NiechXbędzieprzestrzeniąliniowąip:X→R.Wykazać,że
(a)jeślipspełniawarunek(P2)wdefinicjipółnormy,top(0)=0,
(b)jeślipspełniawarunki(P2)i(P3)wdefinicjipółnormy,topspełniawarunek
(P1).
