Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
Przestrzenieunormowane
NiechXbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemK.Półnormąwtejprzestrzeni
nazywamykażdąfunkcjęp:X→Rspełniającąwarunki:
(P1)p(x)>0,
(P2)p(ax)=|a|p(x),
(P3)p(x+y)<p(x)+p(y)
dladowolnychwektorówxjy∈Xidowolnejliczbya∈K.Warunek(P3)nosi
nazwęnierównościtrójkąta.
Jeżeliopróczwarunków(P1)–(P3)półnormapspełniadodatkowowarunek
(P4)p(x)=0⇒x=0
dlawszystkichx∈X,tomówimy,żepjestnormą.Gdyx∈X,toliczbęp(x)
(zwanąnormąlubdługościąwektorax)oznaczamyzwyklesymbolem"x".
NiechPbędzieniepustąrodzinąpółnormokreślonychwprzestrzeniliniowejX.
Uporządkowanąparę(XjP)nazywamyprzestrzeniąpółunormowaną,jeżeli
jedynymwektoremx∈Xspełniającymwarunek
p∈P
^
p(x)=0
jestwektorx=0.Przestrzeńunormowanazaśjesttopara(Xjp),gdziep
jestnormą.Podprzestrzeniąprzestrzeni(Xjp)nazywamykażdąparę(Yjp|Y),
gdzieYjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniX.CzęstosamąprzestrzeńX
nazywamyprzestrzeniąpółunormowaną(unormowaną),jeżeliniemawątpliwości,
jakarodzinapółnorm(norma)jestwniejrozważana.
Jeżeli(Xj"·")jestprzestrzeniąunormowaną,tofunkcjad:X×X→R
określonawzoremd(xjy)="x−y"dlaxjy∈Xjestmetrykąwprzestrzeni
X(zwanąmetrykągenerowanąprzeznormę"·").Dlax∈Xiliczbyr>0
przyjmujemynastępująceoznaczenia:
BX(x;r)={y∈X:"y−x"<r}j
BX[x;r]={y∈X:"y−x"<r}j
SX[x;r]={y∈X:"y−x"=r}.
Zbiory:BX(x;r),BX[x;r]iSX[x;r]nazywamyodpowiedniokuląotwartą,kulą
domkniętąisferąośrodkuwpunkciexipromieniur.Wprzypadku,gdy
