Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
20Zagadnieniageometrycznegeodezjiwyższej
202020Trójkątygeodezyjneiichrozwiązywanie
Trójkątemgeodezyjnymnazywamytrójkątnapowierzchnielipsoidyobrotowej
utworzonyprzeztrzyłukiliniigeodezyjnych.Podpojęciemrozwiązywaniatrójkąta
geodezyjnegorozumiemyobliczaniejegoelementównapodstawieznanychtrzech
elementów,wtymprzynajmniejjednegobokuorazznanegopołożeniatrójkątana
elipsoidzie.
Małetrójkątygeodezyjne,tzn.takie,którychbokiniesądłuższeniż90km,
możnarozwiązywaćtraktującjejakotrójkątypołożonenakuliopromieniurów-
nymśredniemupromieniowikrzywizny,obliczonemudlaszerokościrównejśred-
niejarytmetycznejzwartościszerokościwierzchołkówtrójkąta.Wcelurozwiąza-
niatrójkątaposługujemysiętzw.twierdzeniemLegendre’a,któremówi,żemały
trójkątsferycznymożnarozwiązaćzamieniającgonatrójkątpłaski,wktórym
długościbokówpozostająniezmienionewstosunkudoodpowiednichdługościna
sferze,każdykątzaśjestzmniejszonyo
1
3tzw.nadmiarusferycznego.
Wyrażenieokreślającenadmiarsferycznyalboekscessferycznyłatwowypro-
wadzićpiszącwzorycosinusowedlabokówtrójkątasferycznego,wyznaczającco-
sinusykątówztychwzorów,rozwijającsinusyicosinusywichszeregiisumującte
szeregi.Wykorzystującwzórwyrażającycosinuskątawtrójkąciepłaskim,można
łatwowykazać,żesumakątówsferycznychwtrójkącieprzewyższa1800owartość
ε
zwanąnadmiaremalboekscesemsferycznym,akażdyzkątówsferycznychjest
większyododpowiadającegomukątapłaskiegoo1
3
ε
.
Nadmiarsferyczny
ε
=
R
P
∆
2
,gdzieP
Δoznaczapoletrójkąta,któremożnawy-
znaczaćjakdlatrójkątapłaskiegowprzypadkuniezbytdużychtrójkątów.Oznacza
to,żemożnasięposługiwaćnastępującymwzorem:
ε
=
bc
2
sin
R
2
A
1
,
(2.32)
wktórymbicoznaczająbokitrójkątapłaskiego,A
1–kątmiędzynimizawarty;R
topromieńkuli,naktórejpołożonyjesttrójkąt.
Jeżelimamydoczynieniaztrójkątem,któregobokisądłuższeniż90km,wwy-
znaczeniunadmiarusferycznegomusimyuwzględnićto,żepowierzchniatrójkątawe
wzorzena
ε
powinnabyćobliczanadlatrójkątasferycznego,aniepłaskiego.Odpo-
wiedniwzór,odnoszącysiędotzw.rozszerzonegotwierdzeniaLegendre’a,mapostać:
ε
1
=
ε
(
I
k
1
+
8
m
R
2
2
]
I
J
,
m
2
=
a
2
+
b
3
2
+
c
2
.
(2.33)
Łatwowykazać,żenadmiarsferycznyobliczonynapodstawietegowzorubę-
dziesięróżniłniewięcejniżo0,0005Hodwartościwyznaczonejzewzoru(2.32),
jeżelibokitrójkątarównobocznegonieprzekraczajądługości90km.Dokładność
