Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Własnościzbioruliczbrzeczywistych
29
Twierdzenie2010JeśliniepustyzbiórACRjestograniczonyzdołu,
toistniejekresdolnyzbioruA.
Zanimprzytoczymyniektórespośródważniejszychwłasnościzbioru
liczbrzeczywistych,przypomnijmy,żeliczbypostacip
q,gdziep∈Z,
q∈N,nazywamyliczbamiwymiernymi.Zbiórwszystkichliczbwymier-
nychbędziemyoznaczalisymbolemQ.ElementyzbioruR\Q1:Q/
nazywamyliczbaminiewymiernymi.
Własność2010ZbiórRjestliniowouporządkowany,tzn.dlawszelkich
ł,b,c∈Rzachodzązwiązki:
10ł<ł,
20jeślił<bib<ł,toł1b,
30jeślił<bib<c,toł<c,
40ł<blubb<ł.
Własność202(pewnikArchimedesa)0Jeżelix>0,todladowolnego
y>0istniejen∈Ntakie,żey<nlx.
Wykażemyteraznastępującą
Własność2030Wkażdymprzedzialeistniejązarównoliczbywymier-
ne,jakiniewymierne.
Dowód0NiechICRbędzieprzedziałeminiechI,5∈I,I<5.
Wówczas(I,5)CI.Pokażemy,że
Q∩(I,5)/1∅orazQ
/∩(I,5)/1∅.
Niech5:15−I.Namocywłasności2.2istniejen∈Ntakie,że1<nl5,
astąd1<nl5<(n+1)5.Niechq:1n+1.Wówczasprzedział(qI,q5)
madługośćq(5−I)izachodzinierówność
5q−Iq1(5−I)q15q15(n+1)>1.
