Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Funkcjemonotoniczneiwypukłe
33
Istotnąrolęwanaliziematematycznejodgrywajątakżefunkcjewypu-
kłe.NiechPCRbędzieprzedziałemokońcachłib(ł<b).Mówimy,
żefunkcjaf:P→Rjestwypukła,jeśli
^
^
f(Ax+(1−A)y)<Af(x)+(1−A)f(y).
A∈[o,1]
y∈P
(2.9)
Jeśliwwarunku(2.9)nierówność„<nzastąpimynierównością„>n,to
funkcjęfnazywamywówczasfunkcjąwklęsłą.Podamyterazgeome-
trycznąinterpretacjęwarunku(2.9).Zauważmy,żejeśliwwarunku(2.9)
A10lubA11,tonierównośćstajesiętrywialnąrównością.Weźmy
zatemA∈(0,1)orazx,y∈P,x/1y,wówczas
z:1Ax+(1−A)y∈(ł,b).
NapiszmyrównanieprostejprzechodzącejprzezpunktyB:1(x,f(x))
iC:1(y,f(y))wykresufunkcjif;oczywiścieB/1C.Maonopostać:
u1
f(x)−f(y)
x−y
(v−x)+f(x),
v∈R.
PunktA:1(z,Af(x)+(1−A)f(y))należydotejprostejileżymiędzy
punktamiBiC(zob.rysunekponiżej).
B
x
f(z)
y
A
z
C
y
x
Ponieważfspełnianierówność(2.9),więc
Af(x)+(1−A)f(y)>f(Ax+(1−A)y).
Innymisłowyoznaczato,żedladowolnejprostejłączącejdwapunkty
wykresufunkcjifczęśćwykresu,zawartapomiędzytymipunktami,leży
poniżejtejprostej.
