Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
CzęśćI
RozdziałI
GRUPAIJEJSTRUKTURAALGEBRAICZNA
Wbardzoogólnymoglądzierzeczywistościfizycznejczłowiekpostrzegasymetrięjako
swoistąharmonięiporządekwotaczającymgoświecie.Itak,patrzącnaotaczającynasświat,
subiektywniezauważamy,żeprzedmiotysymetrycznewydająsięnam,,ładniejsze”niż
niesymetryczne.Okazujesię,żewwieluprzypadkachówładmożnaopisaćwtakisposób,aby
subiektywneodczuciesymetriizastąpićobiektywnymirelacjami.Jeślinaprzykładpatrzymy
namakroskopowąkostkęsześcienną,zauważamynatychmiast,żemaonaosiedwukrotne,
czterokrotne,atakżewielepłaszczyznsymetrii.Zfaktutegoniewynikajeszczenic
szczególnego,dopókiniestwierdzimy,żeobrótkostkiwzględemosiczterokrotnej,anastępnie
odbiciewjednejzpłaszczyznsymetriidawwynikutosamo,codajeobróceniekostki
względemjednejzosidwukrotnych.Wtymmomenciestwierdzimy,żepołączeniezesobą
dwóchelementówdanamwwynikuinnyelementzbioruelementówsymetriiposiadanych
przezkostkę.Okażesięprzytym,żezbiórwszystkichelementówsymetriinaszej
makroskopowejkostkijestwsensiealgebraicznymgrupą.Podobnierzeczsięmawmikro-
świecie,wktórymbadanymiobiektamisącząsteczkichemiczne.Zfaktu,żecząsteczka
chemicznamożeposiadaćelementysymetriitworzącegrupę,wynikacałyszeregniezwykle
ważnychwnioskówiobserwacjinaturyogólnej.NimtowłaśniepoświęconyjestrozdziałItego
opracowania.
I.1.Grupyirelacje
Rozważmypewienzbióridwaelementyaibnależącedotegozbioru.Przyjmijmydalej,
żemiędzytymielementamiwystępujeokreślonyzwiązek(relacja).Związektenbędziemy
oznaczaćnastępująco:aUb.Naprzykład,jeślizbioremjestzbiórwszystkichludzi,określenie
,,ajestsiostrąb”jestrelacjąwtymzbiorze.Podobniewzbiorzewszystkichpunktówna
płaszczyźnie,związekx2+y2=1jestrelacjąwzbiorze.Samerelacjemogąinaogółmająszereg
właściwości.Trzypodstawowewłaściwości,któremożemiećdanarelacja,to:
(1)zwrotność-aUa,
(2)symetryczność-jeśliaUb,totakżebUa,
(3)przechodniość-jeśliaUbibUc,totakżeaUc.
Naprzykład,wewspomnianymwyżejzbiorzewszystkichludzirelacjaU(,,ajestsiostrąb”)
jestprzechodnia,gdyżjeśli,,ajestsiostrąb”i,,bjestsiostrąc”,to,,ajestsiostrąc”.Relacja
taniejestjednaksymetryczna.Jeślibowiem,,ajestsiostrąb”,toniekoniecznie,,bjestsiostrą
a”,gdyżbmożebyćbratem.
