Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
MnożenieelementówwzbiorzeS
3ilustrujeponiższyprzykład:
(I.1-3)
Mnożenietoodczytujemy(zprawejnalewąstronę)następująco:1przechodziw3(element
p
3)i3przechodziw1(elementp
1),to1przechodziw1welemenciep
1Cp
3.Podobnie2
przechodziw2(elementp
w3(elementp
1),to2przechodziw3
3)i2przechodzi
TabelaI.4.Tabelaskładaniapermutacji.
welemenciep
1Cp
3.Iostatecznie3
przechodziw1(elementp
3)i1przechodzi
,,C”
p
0
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
w2(elementp
1),to3przechodziw2
welemenciep
1Cp
3.Azatemp
1Cp
3=p
5.
p
0
p
0
p
1
p
2
p
3
p
4
p
5
SposóbmnożeniaelementówzbioruS
3
p
1
p
1
p
2
p
0
p
5
p
3
p
4
podanyjestwtabeliI.4.Czytelniksprawdzi
beztrudu,żezbiórS
3wrazzokreślonym
p
2
p
2
p
0
p
1
p
4
p
5
p
3
wyżejmnożeniemspełniawarunki
p
3
p
3
p
4
p
5
p
0
p
1
p
2
definiującegrupę.
Trzypodanewyżejwarunki(1)-(3)są
p
4
p
4
p
5
p
3
p
2
p
0
p
1
niezbędne,abyg-elementowyzbiórGbył
grupą.Liczbęgnazywamyrzędemgrupy.
p
5
p
5
p
3
p
4
p
1
p
2
p
0
Możesięzdarzyć,żezachodzitakżejeszcze
jedenwarunek,amianowicie,żedlakażdej
paryelementówgrupyspełnionyjest
związek:R
iCR
j=R
jCR
i.Otakiejgrupiemówimy,żejestprzemiennalubabelowa.Szczególnym
przypadkiemgrupyabelowejjestgrupacykliczna.Nazwątąokreślamygrupę,wktórejkażdy
elementdasięprzedstawićjakopotęgapewnegoelementuR,toznaczygrupacyklicznaskłada
sięzelementówR1,R2,R3,...Rn(=E).LiczbęnaturalnąnnazywamyrzędemelementuR.
Nazakończenietegoparagrafuwprowadzimyważnąoperacjęalgebraiczną,którejcelem
jestgenerowanienowychgrupzgrupjużznanych.Przypuśćmy,żemamygrupęG
1=(E,R
1,R
2,
...R
n)rzędug
1orazinnągrupęG
2=(E,Q
1,Q
2,...Q
k)rzędug
2.Załóżmy,żezwyjątkiemelementu
tożsamościowegowszystkieelementygrupG
1iG
2sąróżneiichiloczynjestprzemienny.
Utwórzmyteraznowyg
1g
2-elementowyzbiórwszystkichiloczynówpostaciR
i@Q
k.
Twierdzimy,aczytelnikzłatwościątoudowodni,żezbiórtentworzynowągrupęzwaną
iloczynemprostymgrupG
1iG
2.Grupętębędziemyoznaczaćnastępująco:G
1×G
2.
I.2.Podgrupyiwarstwy
Jednymzważniejszychpojęćteoriigrupjestpojęciepodgrupy.Przezpodgrupęrozumiemy
zbiór(węższywsensieinkluzjiodgrupy)będącyjednakżegrupązewzględunatosamo
działaniewewnętrzne.Nietrudnodostrzec,żeelementjednostkowyorazcałagrupasą
zoczywistychwzględówpodgrupamidanejgrupy.Otakichpodgrupachmówimy,żesą
niewłaściwe.Jednymzważniejszychzadańteoriigrupjestznalezieniewszystkichwłaściwych
podgrupdanejgrupy.Takwięcnaprzykład,grupaaddytywnaõ
4=(R
0,R
1,R
2,R
3)(tab.I.3)jest
