Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
35
Czyniącpodobniezelementem+N
ilHRlN
j,,otrzymamy:
(II.1-6)
(II.6-7)
Porównanieoburównań,(II.1-6)i(II.1-7),prowadzinasnatychmiastdorównościmacierzowej
HD(R)=D(R)H.Wyniktendajesięująćwnastępujące
TWIERDZENIE4
Jeśli[H,R]=0dlakażdegooperatoragrupyG,towbaziefunkcjiortogonalnychN
1,N
2,
...N
Nspełnionajestrówność[H,D(R)]=0.
WtymmiejscumusimyzrobićuwagęobazieużytejdokonstrukcjimacierzyHoraz
macierzyreprezentacjiD(R).Zauważmymianowicie,żeokreślonawyżejwłaściwość
izomorfizmumacierz-operator,atakżezwiązek,októrymmowawtwierdzeniu4,niezależą
odtego,jakiejbazyużyjemywkonstrukcjireprezentacji.Samajednakpostaćmacierzy
reprezentacjibędzienaogółzależałaodwyborubazy.Dowodzisię,żedanaprzestrzeń
wektorowamożeposiadaćnieskończeniewielebaz,którebędziemynazywalirównoważnymi.
Wtymkontekściemożnainależyzadaćpytanie:jakzmieniasiępostaćmacierzyreprezentacji,
jeśliprzejdziemyodjednejbazyprzestrzeniwektorowejdoinnejrównoważnej?Aby
odpowiedziećnatopytanie,rozważmydwiebazy(N
1,N
2,...N
N)oraz(N
1N,N
2N,...N
NN),które
związanesązesobątransformacjąliniową:
(II.1-8)
÷jestdowolnąmacierząunitarnąowymiarzeN×N.Unitarnośćmacierzy÷zapewnia,żejeśli
bazanieprimowanajestortogonalna,toprimowanajesttakżeortogonalna.Działającnaobie
stronyrównania(II.1-8)operatoremR,dostaniemy:
(II.1-9)
Podstawiającterazrównanie(II.1-8)dorównania(II.1-9),nietrudnostwierdzić,żespełniona
jestrównośćmacierzowa:÷DN(R)=D(R)÷.Zgodniejednakztwierdzeniem4wobubazach
muszązachodzićrelacjekomutacji[HN,DN(R)]=0oraz[H,D(R)]=0,któresąniezależneodbazy
użytejprzykonstrukcjimacierzyHamiltonaimacierzyreprezentacji.Abytakbyło,macierze
