Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
(I.2-7)
którajestpodgrupąrzędu4grupysymetrycznejS
4.Ponieważizomorfizmjestrelacją
równoważności,mamynatychmiastV.V
B.(podgrupagrupyS
4).
PowyższyprzykładnietylkoilustrujedziałanietwierdzeniaCayleya,leczmówijeszczecoś
więcej.Mianowicie,uważnyczytelnikspostrzeżezpewnością,żepodgrupa(I.2-7)grupyS
4
mapewnespecjalnecechy.Sąto:(i)rządpodgrupyjestrównolicznyzcztero-grupąV,(ii)
permutacjewtejpodgrupieniepozostawiajążadnegozelementówbezzmianyzwyjątkiem
elementujednostkowego.Permutacjemającetęwłasnośćnazywamyregularnymi.Stąd
wynikapraktycznawskazówka,jakwyznaczyćpodgrupęsymetryczną,która,zgodnie
ztwierdzeniem2,będzieizomorficznazbadanągrupąskończoną.Podgrupagrupy
symetrycznej,októrejmówitwierdzenie2,musibyćregularna.Doproblemówzwiązanych
zgrupamiregularnymijeszczewrócimy.
I.3.Podgrupyniezmiennicze,grupyilorazowe,klasyelementów
sprzężonych
WdowodzietwierdzeniaLagrange’akorzystaliśmyzpojęciawarstwylewostronnejR
i,
grupywzględempodgrupy.WpodobnysposóbmoglibyśmydowieśćtwierdzeniaLagrange’a,
posługującsiępojęciemwarstwyprawostronnej,R
iwzględemjednejzjejpodgrup.Nie
należyjednaksądzić,żewarstwylewo-iprawostronnewyznaczoneprzeztensamelement
będątakiesame.Innymisłowy,równośćR
i,=,R
iniemusizachodzić.Możesięjednak
zdarzyć,żedlaktórejśzpodgrupwspomnianarównośćzachodzidlakażdegoelementuR
i
zgrupyG.Wtakimprzypadkumówimy,żepodgrupajestniezmienniczalubżejest
dzielnikiemnormalnym.Wartozauważyć,żejeśliwspomnianarównośćwarstwmamiejsce
dlakażdegoelementuR
i,todowolnyelementH
p0,dajesięwyrazićpoprzezinnyelement
H
k0,następująco:H
p=R
iH
kR
i
-1.Symboliczniezapisujemytotak:,=R
i,R
i
-1.Równośćta
możesłużyćzadrugądefinicjępodgrupyniezmienniczej.
Jakoprzykładrozważmyaddytywnągrupęõ
4=(R
0,R
1,R
2,R
3)składającąsięzklas
równoważnościmod(4).Grupatamapodgrupę,=(R
0,R
2)rzędu2.KorzystającztabeliI.3,
możnaterazsprawdzić,żepodgrupa,orazwarstwa,R
1wyczerpujągrupę,toznaczyże
spełnionajestrównośćzbiorówõ
4=,r,R
1.Ponadtomożnatakżepokazać,żezachodzi
równośćR
i,=,R
i.Podgrupa,jestzatemniezmiennicza.KorzystającztabeliI.4,czytelnik
beztrudusprawdzisam,żegrupasymetryczna(permutacyjna)S
3=(p
0,p
1,p
2,p
3,p
4,p
5)ma
podgrupęniezmienniczą,=(p
0,p
1,p
2)rzędu3.Trzypozostałepodgrupyrzędu2niesą
niezmiennicze.
Podgrupyniezmienniczemająpewnespecyficzneiważnewłasności,którympowinniśmy
poświęcićkilkasłów.Abypokazaćniektóreztychwłasności,rozpatrzmypewnąpodgrupę
niezmienniczą,(rzęduh)grupyG,dlaktórejutworzymywszystkiewarstwy:
