Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
nierówność
f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2).
Wykazać,żekażdafunkcjawypukłana(a,b)jestciągła.Czytwierdzenietojest
prawdziwedladowolnegoprzedziałuI⊂R?
1.2.34.Udowodnić,żegranicajednostajniezbieżnegociągu{fn}funkcjiciągłych
nazbiorzeAjestfunkcjąciągłąnaA.
1.3WŁASNOŚĆDARBOUX
DEFINICJA1.Mówimy,żefunkcjarzeczywistafokreślonanaprzedzialeImawłasność
Darboux,jeślidladowolnychx1,x2zprzedziałuIidowolnegoyzprzedziałuokońcach
f(x1)if(x2)(tzn.y∈(f(x1),f(x2))luby∈(f(x2),f(x1)))istniejetakaliczbax3
pomiędzyx1ix2,żef(x3)=y.
1.3.1.PodaćprzykładfunkcjiokreślonejnaprzedzialemającejwłasnośćDar-
boux,aleniebędącejfunkcjąciągłą.
1.3.2.Udowodnić,żefunkcjaf:[a,b]→Rściślerosnącaimającawłasność
Darbouxjestfunkcjąciągłąnatymprzedziale.
1.3.3.Niechf:[0,1]→[0,1]będziefunkcjąciągłą.Wykazać,żeistniejexo∈
[0,1]będącepunktemstałymfunkcjif,tzn.f(xo)=xo.
1.3.4.Niechf,g:[a,b]→Rbędątakimifunkcjamiciągłymi,żef(a)<g(a)oraz
f(b)>g(b).Wykazać,żeistniejetakipunktxo∈(a,b),dlaktóregof(xo)=
g(xo).
1.3.5.Niechf:R→RbędziefunkcjąciągłąiokresowąookresieT>0.
(a)Wykazać,żeistniejetakipunktxo,że
f(xo+
T
2)=f(xo).
(b)Wykazać,żedladowolnegoc∈Ristniejetakiexc,że
f(xc+c)=f(xc).
1.3.6.Udowodnić,żejeślifjestfunkcjąciągłąnaprzedziale(a,b)orazx1,x2,
...
,xnsądowolnymipunktamitegoprzedziału,toistniejetakipunktxo∈
(a,b),że
f(xo)=
n
1
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn)).
