Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.CIĄGŁOŚĆJEDNOSTAJNAFUNKCJI
19
1.4.18.Udowodnić,żegranicarosnącego(malejącego)ciągufunkcjipółciągłych
zdołu(zgóry)jestfunkcjąpółciągłązdołu(zgóry).
1.4.19.Niechf:A→RiniechxbędziepunktemskupieniazbioruAorazniech
of(x)=lim
δ→o+
sup{|f(z)−f(u)|:z,u∈A,|z−x|<δ,|u−x|<δ}
oznaczatzw.oscylacjęfunkcjifwpunkciex.Wykazać,żeof(x)=f1(x)−
f2(x),gdzie
f1(x)=max{f(x),lim
z→x
f(z)},
f2(x)=min{f(x),lim
z→x
f(z)}.
1.4.20.Niechf1,f2orazniechofbędąfunkcjamiokreślonymiwpoprzednim
zadaniu.Udowodnić,żef1iofsąfunkcjamipółciągłymizgóry,afunkcjaf2
jestpółciągłazdołu.
1.4.21.Udowodnić,żenato,abyfunkcjaf:A→Rbyłapółciągłazdołu
(zgóry)wpunkciexo∈Apotrzebaiwystarcza,bydlakażdejliczbyrzeczywi-
steja<f(xo)(a>f(xo))istniałatakaδ>0,żejeśli|x−xo|<δ,x∈A,to
f(x)>a(f(x)<a).
1.4.22.Udowodnić,żenato,abyfunkcjaf:A→Rbyłapółciągłazdołu
(zgóry)nazbiorzeApotrzebaiwystarcza,bydlakażdegoa∈Rzbiór
{x∈A:f(x)>a}({x∈A:f(x)<a})byłotwartywA.
1.4.23.Wykazać,żefunkcjaf:R→Rjestpółciągłazdołuwtedyitylko
wtedy,gdyzbiór{(x,y)∈R2:y≥f(x)}jestdomkniętywR2.Sformułować
iudowodnićanalogicznetwierdzeniedotyczącefunkcjipółciągłychzgóry.
1.4.24.Udowodnić,następującetwierdzenieBaire’a.
Każdafunkcjaf:A→Rpółciągłazdołu(zgóry)jestgranicąrosnącego
(malejącego)ciągufunkcjiciągłychnaA.
1.4.25.Udowodnić,żejeślif:A→Rjestfunkcjąpółciągłązgóry,ag:A→R
jestfunkcjąpółciągłązdołu,przyczymf(x)≤g(x),x∈A,toistniejefunkcja
hciągłanazbiorzeAitaka,że
f(x)≤h(x)≤g(x),x∈A.
1.5CIĄGŁOŚĆJEDNOSTAJNAFUNKCJI
DEFINICJA1.Mówimy,żefunkcjarzeczywistafokreślonanaA⊂Rjestjednostajnie
ciągłanaA,jeślidladowolnegoε>0istniejetakaδ>0,żedlawszystkichx,y∈A
spełnionyjestwarunek
|x−y|<δ=⇒|f(x)−f(y)|<ε.
