Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
1.5.20.Niechf:A→R,A⊂R.Modułemciągłościfunkcjifnazywamy
funkcjęωfokreślonąnastępująco:
ωf(δ)=sup{|f(x1)−f(x2)|:x1,x2∈A∧|x1−x2|<δ}.
Udowodnić,żefjestjednostajnieciągłanaAwtedyitylkowtedy,gdy
δ→o+
lim
ωf(δ)=0.
1.5.21.Załóżmy,żef:R→RjestfunkcjąjednostajnieciągłąnaR.Udowodnić,
żenastępującedwawarunkisąrównoważne:
(a)dlakażdejfunkcjig:R→RjednostajnieciągłejnaRiloczynfgjest
funkcjąjednostajnieciągłą,
(b)funkcjax→|x|f(x)jestjednostajnieciągłanaR.
1.5.22.Udowodnić,żewarunkiemkoniecznymidostatecznymnato,abyfunkcja
fbyłajednostajnieciągłanaprzedzialeIjest,bydladowolnegoε>0istniało
N>0takie,żedlawszystkichx1,x2∈I,x1/=x2,prawdziwajestimplikacja
l
l
l
f(x1)−f(x2)
x1−x2
l
l
l
>N=⇒|f(x1)−f(x2)|<ε.
1.6RÓWNANIAFUNKCYJNE
1.6.1.Wykazać,żejedynymifunkcjamiciągłyminaRspełniającymirównanie
funkcyjneCauchy’ego
f(x+y)=f(x)+f(y)
dla
x,y∈R
sąfunkcjeliniowepostaci:f(x)=ax,x∈R.
1.6.2.Wykazać,żejeślifunkcjaf:R→RspełniarównaniefunkcyjneCau-
chy’ego
f(x+y)=f(x)+f(y)
dla
x,y∈R
orazjedenznastępującychwarunków:
(a)fjestciągławpewnympunkciexo∈R,
(b)fjestograniczonazgórynapewnymprzedziale(a,b),
(c)fjestmonotonicznanaR,
tojestonapostacif(x)=ax,x∈R.
1.6.3.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→RciągłenaRtakie,żef(1)>0oraz
spełniającerównanie
f(x+y)=f(x)f(y)
dla
x,y∈R.
1.6.4.Wykazać,żejedynymifunkcjamiokreślonymiiciągłymina(0,∞)nierów-
nymitożsamościowozeruispełniającymirównaniefunkcyjne
f(xy)=f(x)+f(y)
dla
x,y∈(0,∞)
sąfunkcjelogarytmiczne.
