Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.RÓWNANIAFUNKCYJNE
23
1.6.5.Wykazać,żejedynymifunkcjamiokreślonymiiciągłymina(0,∞)nierów-
nymitożsamościowozeruispełniającymirównaniefunkcyjne
f(xy)=f(x)f(y)
dla
x,y∈(0,∞)
sąfunkcjepotęgoweopostaci:f(x)=xa,x∈(0,∞).
1.6.6.Znaleźćwszystkiefunkcjef
:
R
→
RciągłenaRtakie,że
f(x)−f(y)jestliczbąwymierną,jeślix−yjestliczbąwymierną.
1.6.7.Niechqbędziedowolnieustalonąliczbąrzeczywistątaką,że|q|<1.Zna-
leźćwszystkiefunkcjef:R→Rciągłewzerzeispełniającerównanie
f(x)+f(qx)=0
dla
x∈R.
1.6.8.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→Rciągłewzerzeispełniającerównanie
f(x)+f(
2
3
x)=xdlax∈R.
1.6.9.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→Rciągłewzerzeispełniającerównanie
2f(2x)=f(x)+x
dla
x∈R.
1.6.10.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→RciągłenaRispełniającerównanie
Jensena
f(
x+y
2
)=
f(x)+f(y)
2
dla
x,y∈R.
1.6.11.Znaleźćwszystkiefunkcjef∈C(a,b)ispełniającerównanieJensena
f(
x+y
2
)=
f(x)+f(y)
2
dla
x,y∈(a,b).
1.6.12.Znaleźćwszystkiefunkcjef:R→Rciągłewpunkcie−1ispełniające
równanief(2x+1)=f(x)
dla
x∈R.
1.6.13.Niechkbędziedowolnieustalonąliczbąrzeczywistąiniechf:R→R
będziefunkcjąciągłąnaRspełniajacąrównanie
f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy
dla
x,y∈R.
Wykazać,żef(x)=
k
2
x2+cx,gdziec=f(1)−
k
2
.
1.6.14.Znaleźćwszystkiefunkcjeciągłewzerzeispełniającerównaniefunkcyjne
f(x)=f(
1−x)dlax/=1.
x
1.6.15.Niechf:[0,1]→[0,1]będziefunkcjąciągłą,malejącąitaką,żef(f(x))
=xdlax∈[0,1].Czyfunkcjaokreślonawzoremf(x)=1−xjestjedyną
funkcjąspełniającąpowyższewarunki?
1.6.16.NiechfigbędąfunkcjamiokreślonyminaRspełniającymirównanie
funkcyjne
f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)
dla
x,y∈R.
