Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Rozdział1.Arytmetykaliczbcałkowitych
Wybierzmy
N=22k+2
(pamiętamy,żedotegomomenturozumowania
N
byłodo-
wolnąliczbąnaturalną,możemyjąwięcustalićwdowolnysposób).Wówczas
2k√N⩽
N
2
,
awięc(napodstawienierówności(1.2)i(1.3))
Nm⩽2k√N⩽
N
2
iwobecNd<N/2otrzymujemyNd+Nm<N.Tokończydowód.
(1.3)
Twierdzenie1.2mówiwięcejolicznościzbioruliczbpierwszychniżtwierdzenie1.1.
Zbiórliczbpierwszychjestprzeliczalnyjakopodzbiórzbioruliczbnaturalnych.Jest
znimrównoliczny.Możnanajegolicznośćspojrzećjednakinaczej.
Przyjrzyjmysięwpierwzbiorowiliczbnaturalnych
N
iporównajmygoz(rów-
nieżprzeliczalnym)zbiorem
X={n2:n∈N}
.Fakt,żeszereg
∑n∈N−{0}1/n
jest
rozbieżny,zaśszereg
∑n∈N−{0}1/n2
jestzbieżny,możnainterpretowaćnastępująco:
wzbiorze
X
,którypowstajez
N
przezwyrzuceniezniegoniektórychelementów
pozostajecoprawdanieskończonailośćelementów,alejużnatyleniewiele,żeich
nieskończonasumajestzbieżna.Wtymsensietwierdzenie1.2możnainterpretować,
uważając,żeliczbpierwszychjestnietylkonieskończeniewiele,aleistotniewięcejniż
liczbzbioruXkwadratówliczbnaturalnych.
Jaksięokazujelukipomiędzykolejnymiliczbamipierwszymimogąbyćdowolnie
duże.Rzeczywiście,prawdziwejestnastępującetwierdzenie.
pierwszychmniejszychod
Niech
n0+(k+1)niejestliczbąpierwszą.
Twierdzenie1030
k∈N
iniech
n0=2·3·5·...·p
k+2
.Wówczasżadnazliczb
będzieiloczynemwszystkichliczb
n0+2
,
n0+3
,
...
,
Dowód0Zdefnicjiliczby
n0
wynika,żezarówno
n0
,jakidowolne
i
spełniające
nierówności
2⩽i⩽k+1
sąpodzielneprzezjednązliczbpierwszych
2,3,5,...,p
.
Przedstawmyjeszczedwaznanetwierdzenia,którychdowodówtutajniepodamy.
PierwszeznichznanejestjakopostulatBertranda6.
6
JosephBertrand(1822–1900),matematykfrancuski.Jegosłynnypostulatzostałw1850rokuudowod-
nionyprzezCzebyszewaipó§niej,niezależnie,przezRamanujana.W[
1
]możnaznale§ćdowódErd
osa
˝
postulatuBertranda.
