Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Rozdział1.Arytmetykaliczbcałkowitych
Twierdzenia1.3,1.4i1.5sątwierdzeniamiopisującymirozmieszczenieliczbpierw-
szychwśródliczbnaturalnych.Bardzoznanymproblememdotyczącymrozmieszcze-
nialiczbpierwszychjestproblempierwszychliczbbli§niaczych.
Mówimy,żeliczby
a
i
b
sąbliźniaczymiliczbamipierwszymijeżelispełnionesą
dwawarunki:
1.a,b∈P,2.|a−b|=2.
Paramipierwszychliczbbli§niaczychsą3i5,5i7,11i13,17i
19
.Czytelnik
złatwościąpotrafwskazaćjeszczekilkainnychparbli§niaczychliczbpierwszych.
ZnanajesthipotezaAlphonse’adePolignacaz1846roku,wedługktórejistnieje
nieskończeniewieleparbli§niaczychliczbpierwszych.Hipotezatapozostajejed-
naknieudowodniona.Ażdoniedawnaniebyłowyników,którewistotnysposób
zbliżałybysiędotejhipotezy.Dopierow2013rokuYitangZhang
11
udowodnił,że
istniejenieskończeniewieleparliczbpierwszychodległychodsiebieoniewięcej
niż
70000000
.Napierwszyrzutokawyniktenwydajesiębardzoodległyodprzy-
puszczenia,żeistniejenieskończeniewieleparbli§niaczychliczbpierwszych.Jednak
twierdzenieYitangZhangaspowodowałoprzełomwbadaniachdotyczącychhipotezy
dePolignaca.Obecniewiadomo,żeistniejenieskończeniewieleparliczbpierwszych
odległychodsiebieoniewięcejniż246–tociąglejeszczenie2,alejużznaczniemniej
niż7·107.
1.2.AlgorytmEuklidesa
Poniższetwierdzenieodzieleniuliczbcałkowitychjestdoskonaleznane.
wyznaczoneliczby!,r∈Z,takieże
Dladowolnychliczbcałkowitych
oraz0⩽r<b.
Twierdzenie106(odzieleniuliczbcałkowitych)0
a=b!+r,
a
i
b
,gdzie
b>0
,istniejąjednoznacznie
(1.4)
Dowód0Zdefniujmyliczbę
!
wzorem
!=max{!′∈Z:b!′⩽a}
.Łatwozauważyć,
żenasze
!
jestdobrzeokreślone(toznaczyistniejedladowolnychliczbcałkowitych
a,b,gdyb>0).
Niech
r=a−b!
.Wykażemy,żetakzdefniowaneliczbycałkowite
!
i
r
spełniają
warunkitwierdzenia.
11
YitangZhang,urodzonywChinachw1955roku,skromnywykładowcawuniwersyteciewNew
HampshirewUSA,poopublikowaniuswojejpracynatematliczbpierwszychwwieku58latzdobyłświato-
wąsławę.Otrzymałszeregprestiżowychnagród,zostałczłonkiemChińskiejAkademiiNaukiprofesorem
czołowychuniwersytetów(najpierwwPrinceton,pó§niejwSantaBarbarawKaliforni).Nakręconoonim
pełnometrażowyflmdokumentalny.
