Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Liczbypierwsze
Dladowolnego
□
Twierdzenie104(postulatBertranda)0
n∈N−{0}
istniejeliczbapierwsza
p
spełniająca
n<p⩽2n
.
17
Chybanajdokładniejopisujegęstośćzbioruliczbpierwszychwzbiorzeliczbnatural-
nychsłynnetwierdzenieznanejakotwierdzenieoliczbachpierwszych
7
udowodnione
niezależnieprzezHadamarda8idelaVall´
eePoussina9
Twierdzenie105(twierdzenieoliczbachpierwszych)0
n→Ż
lim
|{p⩽n:pjestliczbąpierwszą}|
lnn
n
=1.
Fermat
10
wliścienapisanymw1640rokuwyraziłprzypuszczenie,żeliczby
Fn=22
n
+1
sąpierwsze.LiczbytezwanesąliczbamiFermata.Łatwowyliczyćpierw-
szychpięćliczbFermata:
F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537
.Ciągliczb
Fermatajestbardzoszybkorosnący,liczba
F5
majuż10cyfrznaczącychidopieroEuler
w1732rokuzauważył,żeniejestonaliczbąpierwszą.Liczba
F6
ma20cyfrznaczących,
F7
maich40.Dodziśniewiadomonawet,czypierwszychliczbFermatajestnieskoń-
czeniewiele.Niewiadomoteż,czyjestnieskończeniewieleliczb
Fermata,
którenie
sąliczbamipierwszymi.Teinformacjesąotyleistotne,żeliczbyFermataodgrywają
istotnąrolęwtwierdzeniuGaussa–Wantzela(zob.przypisnastronie103).
7
Rozkładliczbpierwszychwzbiorzeliczbnaturalnychfascynowałnajbardziejznanychmatematyków.
Wystarczypowiedzieć,żeproblememasymptotycznegozachowaniasięlicznościzbioruliczbpierwszych
zajmowalisię,międzyinnymi,Legendre,Euler,GaussiDirichlet.Ukoronowaniemtychposzukiwańjest
właśnietwierdzenieoliczbachpierwszych.
8JacquesSalomonHadamard(1865–1963).
9CharlesJacquesdelaVall´
eePoussin(1866–1962).
10
PierredeFermat(1601–1665).Byłmatematycznymsamoukiem.Ukończyłstudiaprawniczena
uniwersyteciewOrleanie.Byłaktywnymprawnikiemwsensietworzeniaprawa,takżejakoparlamenta-
rzysta,członekparlamentuTuluzy.Jegonajbardziejspektakularnymodkryciemjestwielkietwierdzenie
FermatazwanetakżeostatnimlubzaginionymtwierdzeniemFermata.TwierdzenietoFermatzapisałna
marginesiestronywksiążceArithmeticaDiofantesa.Brzmiononastępująco:dlażadnejliczbynaturalnej
n⩾3
nieistniejąliczbycałkowitedodatnie
x,y,z
,takieże
xn+yn=zn
.OboktwierdzeniaFermat
zapisałtakże,żeodkryłzaistezadziwiającydowódtegotwierdzenia,któryjednaknamarginesiesięnie
mieści.Zapistenzostałodnalezionyiopublikowanyw1670roku,awięcjużpojegośmierci.Byćmoże
nigdysięniedowiemy,czydowód,októrymwspomniałFermatzawierałbłąd,czyteżopierałsięna
jakimś,ciąglenieznanympomyśle.Niewiadomoteż,czyuwagaFermataoznalezieniudowoduniebyła
dowcipnąprowokacjądlapokoleńmatematyków,którymnieudałosięprzezponad300latudowodnić
tegotwierdzenia.W1914rokuAkademiaBerlińskawyznaczyłanagrodęwwysokościogromnejwówczas
sumy100000marekzaudowodnieniewielkiegotwierdzeniaFermata.Twierdzenietozostałoostatecznie
udowodnionew1994rokuprzezbrytyjskiegomatematykaAndrewWilesa,laureatanagrodyFieldsa.
DowódWilesaopartyjestnaosiągnięciachnowoczesnejmatematyki,któreFermatowiniebyłyznane.
