Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
1020Grupy
JeśliwzbiorzeniepustymXjestokreślonedziałaniealgebraicznef,tomówimy,
żejestdanastrukturaalgebraicznazjednymdziałaniem,którąoznaczamyprzez
(X7f).(Strukturęalgebraicznąnazywamyrównieżalgebrą,azbiórXnazywasię
nośnikiemalgebry(X7f)).Podobniewprowadzamypojęciestrukturyalgebraicznej
zdwomadziałaniami(X7f7g)lubstrukturyalgebraicznejzwiększąliczbądziałań.
Grupa,rządgrupy
DEFINICJA1060Strukturęalgebraiczną(G7◦)nazywamygrupą,gdysąspeł-
nionenastępującewarunki:
1◦działanie◦jestłączne,
2◦istniejeelementneutralnye∈Gdziałania◦,
3◦każdyelementx∈GjestodwracalnywG.
Jeślidziałanie◦jestprzemiennewgrupie(G7◦),togrupęnazywamyprzemienną
lubabelową.
Wnotacjimultiplikatywnejdziałaniegrupoweoznaczamyprzez◦,element
neutralnyprzez1,aprzezx11elementodwrotnydoelementux.
Wnotacjiaddytywnejdziałaniegrupoweoznaczamyprzez+,elementneu-
tralnyprzez0,aprzez1xoznaczamyelementodwrotnydoelementuxinazywamy
goelementemprzeciwnymdox.
DEFINICJA1070Rzędemgrupy(G7◦)nazywamyliczbęelementówzbioruG,
jeśliGjestzbioremskończonym;jeżelizaśGjestnieskończony,torządgrupy
jestrówny∞.
Rządgrupy(G7◦)oznaczamyprzezr(G).
Przykład1060NiechXbędziedowolnymzbioremniepustym.PrzezFoznaczmy
zbiórwszystkichprzekształceńwzajemniejednoznacznychzbioruXnazbiórX,
aprzez◦oznaczamyskładanieprzekształceń.Działanie◦jestwewnętrznewzbio-
rzeF.Strukturaalgebraiczna(F7◦)jestgrupą.
Strukturęalgebraiczną(F7◦)zprzykł.1.6nazywamygrupąprzekształceń
zbioruXnasiebie.Grupyprzekształceńodgrywająwmatematyceogromnąrolę.
Przykład1070ZbiórliczbcałkowitychZzdodawaniemtworzygrupęprzemienną
(Z7+).ZbiórZzmnożeniemjeststrukturąalgebraiczną(Z7·),któraniejestgrupą,
ponieważniekażdyelementx∈Zjestodwracalny,np.2niemaelementuod-
wrotnego.
21
