Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
MożemyokreślićhomomorfizmI:G→G/H,takiże
I(e)=I(a)={e7a}
i
I(b)=I(ć)={b7ć};
wtedyKerI={e7a}orazImI={{e7a}7{b7ć}}.
Przykład10190Niech(Z7+)będziegrupąliczbcałkowitychzdodawanieminiech
Z/3Zbędziegrupąilorazowązprzykł.1.17.
PrzekształcenieI:Z→Z/3Zokreślonenastępująco:
I(x)={
3Z7
1+3Z7
2+3Z7gdyx=2+3k,k∈Z
gdyx=3k,k∈Z
gdyx=1+3k,k∈Z
jesthomomorfizmem.MamytutajKerI=3ZiImI={3Z71+3Z72+3Z}.
Przykład10200Struktury(R∗7·)i(R7+)zdziałaniamiarytmetycznymisągrupami
przemiennymi.PrzekształcenieI:R∗→R,takieżeI(x)=ln|x|,jesthomomor-
fizmem,bodladowolonychx7y∈R∗,ln|x·y|=ln|x|+ln|y|.
Zauważmy,żeKerI={1171}iImI=R.
DEFINICJA10160HomomorfizmI:G→Ŵgrupy(G7◦)wgrupę(Ŵ7∗)na-
zywamyizomorfizmem,gdyjestprzekształceniemwzajemniejednoznacznym
zbioruGnazbiórŴ.
JeżeliistniejeizomorfizmI:G→Ŵ,togrupy(G7◦)i(Ŵ7∗)nazywamy
izomorficznymi.
NiechGbędzieniepustymzbioremgrup.Definiujemyrelację≈wzbiorzeG
wnastępującysposób:dladowolnychgrupG7Ŵ∈G
G≈Ŵwtedyitylkowtedy,gdyGiŴsąizomorficzne.
Relacja≈jestrelacjąrównoważnościwzbiorzeGidzielitenzbiórnaklasy
grupizomorficznych.Jakjużwspomnieliśmynapoczątkurozdziału,algebrazaj-
mujesiętakimiwłasnościamidziałań,któresąwspólnedlacałychklasgrupizo-
morficznych.Własnościtenazywamyniezmiennikamiizomorfizmów.Mówimy,że
algebrabadastrukturyzdokładnościądoizomorfizmów.
TWIERDZENIE10140HomomorfizmI:G→Ŵjestizomorfizmemwtedyitylko
wtedy,gdyKerI={e}iImI=Ŵ.
DOWÓD0JeśliIjestizomorfizmem,torównośćKerI={e}wynikazewzajemnejjednoznacz-
nościprzekształceniaIiztego,żeI(e)=ε,zaśrównośćImI=Ŵwynikawprostzdefinicji.
JeśliImI=Ŵ,toIjestprzekształceniemzbioruGnazbiórŴ.JeśliKerI={e}
iI(x)=I(y),to
ε=I(x)◦[I(y)]
11=I(x)◦I(y11)=I(x◦y11)
ix◦y11=e,x=y,czyliprzekształcenieIjestwzajemniejednoznaczne.
31
