Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.Przestrzeniewektorowe–definicjaipodstawowewłasności
29
19.Wprzestrzeniwektorowejrównańliniowychoniewiadomychx1,x2iowspółczyn-
nikachrzeczywistychobliczyć:
a)4(x112x215);
b)(x1+4x217)+(3x1+x215).
20.NiechciałoKbędziepodciałemciałaL.Sprawdzić,żeczwórka(L;K;+;·),gdzie
+oznaczadodawaniewcieleL,a·oznaczanaturalnieokreślonemnożenieelemen-
tówciałaKprzezelementyciałaL,jestprzestrzeniąwektorowąnadciałemK.
21.Dodawanie⊕wzbiorzeR+imnożenie⊙liczbzezbioruR+przezliczbyrze-
czywisteokreślonesąwzoramia⊕b1ab,r⊙a1ar.Sprawdzić,żeczwórka
(R+;R;⊕;⊙)jestprzestrzeniąwektorowąnadciałemR.
22.NiechV1Map(R7R+).Dodawanie⊕wzbiorzeVimnożenie⊙funkcjinależą-
cychdoVprzezliczbyrzeczywisteokreślonesąwzoramif⊕g1fg,r⊙f1fr.
Sprawdzić,żeczwórka(Map(R7R+);R;⊕;⊙)jestprzestrzeniąwektorowąnad
ciałemR.
23.Sprawdzić,żewdowolnejprzestrzeniwektorowejVdladowolnychwektorówU7w7
uorazskalarówa7bzachodząrówności:
a)1(U+w)1(1U)+(1w);
b)1(U1w)1(1U)+w;
c)U1(w+u)1(U1w)1u;
d)U1(w1u)1(U1w)+u;
e)(1a)U1a(1U)11(aU);
f)(1a)(1U)1aU;
g)a(U1w)1aU1aw;
h)(a1b)U1aU1bU.
24.Udowodnić,żedladowolnychskalarówa7bEKidowolnychwektorówU7wEV
równośćaU+bw1bU+awzachodziwtedyitylkowtedy,gdya1blubU1w.
25.NiechKbędzieciałeminiechdodawanie+wzbiorzeVorazmnożenie·elementów
zbioruVprzezelementyciałaKspełniająwarunki(PW2)–(PW5)orazwarunek
(PW1)∗
(V7+)jestgrupą.
Rozpatrująciloczyn(1+1)(U+w),gdzieU7wEV,wykazać,żegrupa(V7+)jest
abelowa.
26.Niech(G;+)będziegrupątaką,żea+a10dlakażdegoaEG(symbol0oznacza
tuelementneutralnygrupyG).Określićtakiemnożenie·elementówgrupyGprzez
elementyciałaZ2,byczwórka(G;Z2;+;·)byłaprzestrzeniąwektorowąnadciałem
Z2.Wskazówka.Zobaczzadanie25.
27.Sprawdzić,czyczwórka(R2;R;+;⊙),gdziemnożenie⊙elementówzbioruR2
przezliczbyrzeczywisteokreślonejestwzorema⊙(x17x2)1(ax17x2),jestprze-
strzeniąwektorową.
28.Działania+i⊙określonesąwzbiorzeR2następująco:
(x17x2)+(y17y2)1(x1+y17x2+y2)7
a⊙(x17x2)1(ax170).
(x17x27y17y2ER)
(a7x17x2ER)
Sprawdzić,żeczwórka(R2;R;+;⊙)spełniapostulaty(PW1)–(PW4),aniespeł-
niapostulatu(PW5).
