Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Miarypodobieństwa/odmienności
dW(1i,1j)="Xi−Xj"W=J(Xi−Xj)TW(Xi−Xj)
25
(1.2)
gdzieWjestdodatniookreślonąmacierząwymiarun×n.
JeżeliWjestmacierząjednostkową,toodległośćdW(1i,1j)jestrówna
odległościeuklidesowej.JeżelinatomiastWjestmacierządiagonalnąoele-
mentach
wij={ωi,jeżeliź=j
0
wp.p.,
to(1.2)określaważonąodległośćeuklidesową,tzn.
r
|
n
r
|
n
dW(1i,1j)=
|
¶
Σ
ll1
ωl(xil−xjl)2=
|
¶
Σ
ll1
(yil−yjl)2,
gdzieyil=√ωlxiljestważonąwartościącechylzmierzonąwź-tymobiekcie.
Odległośćeuklidesowąuogólniasięnaróżnesposoby.Tenajczęściejsto-
sowaneomawiamyponiżej.
1.2.1.1.OdległośćMinkowskiego
Odległość(normę)Minkowskiegodefiniujesięnastępująco
dp(Xi,Xj)="Xi−Xj"p=[
Σ
ll1
n
|xil−xjl|
p]
1/p
,
p>1.
(1.3)
Przyjmującp=1,otrzymujemyodległośćmiejską(nazywanąteżtak-
sówkowąlubodległościąManhattan)
n
d1(Xi,Xj)="Xi−Xj"1=
Σ
|xil−xjl|.
ll1
(1.4)
Gdyp=2,równanie(1.3)określaodległośćeuklidesową.Zewzględuna
jejpopularnośćbędziemypisać"Xi−Xj"zamiast"Xi−Xj"2.
Wreszciegdyp=∞,dostajemyodległośćCzebyszewa
d∞(Xi,Xj)="Xi−Xj"∞=max
...,n
|xil−xjl|.
ll1,
(1.5)
OdległośćMinkowskiegowykorzystywanajestnietylkownaukachścis-
łych,aletakżewpsychologii7,wzornictwieiprojektowaniu.Okręgijednost-
kowewmetryceMinkowskiegoopisujerównanie
7Por.rozdz.3w:C.H.Coombs,R.M.Dawes,A.Tversky:MathematicalPsychology:
AnElementaryIntroduction.PrenticeHall,EnglewoodCliffs,NJ1970(polskietłumacze-
nie:Wprowadzeniedopsychologiimatematycznej,PWN,Warszawa1977).