Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Teorialiczb
Bukiet13
Zakładamy,żeliczbynaturalnea,b,c≥1spełniająwarunki
a2+b2=c2
oraz
NWD(a,b,c)=1.
1.Uzasadnij,żejednazliczbaibjestparzysta,adruga—nieparzysta.
71
2.
Zauważ,żejeśliajestnieparzyste,tocteżjestnieparzysteiliczby
c+a
2
i
c−a
2
sąwzględniepierwsze,aichiloczynjestkwadratemliczbynaturalnej.
3.Uzasadnij,żejeśliiloczyndwóchwzględniepierwszychliczbnaturalnychjest
kwadratemliczbynaturalnej,toteliczbysąkwadratamiliczbnaturalnych.
4.Pokaż,żejeśliajestnieparzyste,toistniejąliczbynaturalnem>n,względnie
pierwszeiróżnejparzystości,takie,żea=m2−n2,b=2mnic=m2+n2.
Bukiet14
72
Liczbęcałkowitąnazywamykwadratem,jeślijestkwadratemliczbycałkowitej.
Liczbęcałkowitąnazywamyliczbąbezkwadratową,jeśliniejestpodzielnaprzez
żadenkwadratwiększyod1.
1.Uzasadnijponiższestwierdzenia:
a)Liczbybezkwadratowetoliczbypostaci±p1iiipk,gdziep1,iii,pksąpa-
ramiróżnymiliczbamipierwszymi,k≥0,przyczymdlak=0jestto
liczba±1.
b)Każdąliczbęcałkowitąmożnaprzedstawićwpostaciiloczynukwadratu
iliczbybezkwadratowej.
c)Jeślikwadratliczbycałkowitejmjestpodzielnyprzezliczbębezkwadrato-
wą,toliczbamteżjestpodzielnaprzeztęliczbębezkwadratową.
2.a)Wykaż,żejeżelipierwiastekliczbynaturalnejjestliczbąwymierną,tojest
liczbąnaturalną.
b)Danajestliczbanaturalnan≥1,n=m2·c,gdziemjestliczbąnatural-
ną,acjestliczbąbezkwadratową.Pokaż,żejeżeliliczbynaturalnexiy
spełniająrównanie√x+√y=√n,toliczby√cxi√cysąnaturalne.
3.Opiszwszystkierozwiązaniarównania√x+√y=√nwliczbachnaturalnych
xiy,gdzienjestdanąliczbąnaturalną.
12
