Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
1.Preliminaria
mi(wektorami)sąfunkcjeookreślonychwłasnościach,np.L2(ajb)jestprze-
strzeniąliniowąfunkcjirzeczywistychcałkowalnychzkwadratemnaodcinku
[ajb]osiliczbowej.Wtensposóbpowstałaanalizafunkcjonalna,wktórejbada
sięabstrakcyjneprzestrzeniewektorowemającenieskończeniewielewymiarów
iniedającesięprzedstawićgraficznie.
Uogólnieniepojęciaprzestrzeniposzłonietylkowkierunkuwektorowych
przestrzenifunkcyjnych.Drugikierunek,którynastubardziejinteresuje,wy-
chodzizespostrzeżenia,iżprzestrzeńeuklidesowajestprzestrzeniąliniową,
apowierzchniewE3—takiejaksfera,torus,elipsoida,hiperboloidaitp.—
przestrzeniamiwektorowymijużniesą.(Sumadwóchwektorównapłaszczyź-
niejestwektoremleżącymnaniej,natomiastniejestwcaleoczywiste,jak
zdefiniowaćwektoryleżącenasferze.GdybysferęzdefiniowaćwE3jakozbiór
wektorówjednakowejdługościzaczepionychwjejśrodku,tosumadwutakich
wektorówwyjdziepozanią).TradycyjniedoczasówRiemannapowierzchnie
ihiperpowierzchnie(czylipowierzchnieowymiarzewyższymniż2)pojmowa-
nojakopodzbioryprzestrzenieuklidesowejEn.Takieujęciezwykleniejest
najwygodniejszewkonkretnychrozważaniach,anawetokazałosięutrudnie-
niemwbadaniachpewnychprzestrzeni.Mocnymargumentemprzeciwkote-
muujęciujesteinsteinowskaogólnateoriawzględności:wedługniejfizyczna
czasoprzestrzeńmożebyćmodelowanajako4–wymiarowahiperpowierzchnia
wpewnej10–wymiarowejprzestrzeniwektorowej(przestrzeniMinkowskiego),
lecztazanurzającająprzestrzeńfizycznienieistnieje.Czasoprzestrzeńistnie-
jefizyczniesamawsobie,jakosamodzielnaprzestrzeńgeometryczna,niezaś
jakohiperpowierzchniawprzestrzeniowiększejliczbiewymiarów.Napotrze-
byzarównofizyki,jakisamejgeometriipodanoogólnądefinicjęprzestrzeni
geometrycznej,któraniejestliniowaiktóratraktujewszystkiemożliwe(zna-
neinieznane)hiperpowierzchniewEnjakosamodzielneprzestrzenie,iściśle
ujmujeto,cointuicyjnienazywamypowierzchniązakrzywioną.
Najogólniejszego,dającegofundamentdlaniemalcałejmatematykipoję-
ciaprzestrzenidostarczatopologia.Wprowadzaonaprzestrzeńtopologiczną,
będącąrodziną(zbiorem)zbiorówotwartych.Wszystkieprzestrzenieliniowe
walgebrze,funkcyjnewanalizieingeometryczne”wgeometriisąprzestrze-
niamitopologicznymi.Ponieważwybórzbiorówotwartychwdanymzbiorze
punktówjestwdużejmierzearbitralny,różnicemiędzyodmiennymiprze-
strzeniamitopologicznymimogąbyćogromne.Spośródnichwybieramyklasę,
dośćwąskązpunktuwidzeniatopologii,tychprzestrzeni,którelokalniesą
homeomorficzne1zkawałkamiprzestrzeniRn;zpunktuwidzeniazastosowań
wsamejmatematyceinaukachprzyrodniczychklasatajestbardzoszeroka.
Sątorozmaitościróżniczkowe(różniczkowalne).Onewłaśniesąnprzestrze-
niami”,wktórychbędziemyuprawiaćanalizętensorową.Jedenzgłównych
programówbadawczychfizykidotyczysformułowaniafundamentalnychteorii
fizycznychnaodpowiednichrozmaitościachróżniczkowych.Rozmaitościamisą
1Homeomorfizmdefiniujemywpodrozdz.1.5.
