Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Preliminaria
1.5.OdwzorowaniaprzestrzeniRn
PonieważprzestrzeńEnjestkonstruowanazapomocąRnlubizomorficznej
doniejVn,zajmiemysięprzestrzeniąRnijejodwzorowaniami.Wogólności
możnarozpatrywaćodwzorowaniamiędzyprzestrzeniamiróżnychwymiarów,
tj.RnnaRm,gdzien/=m.PotrzebnenambędąodwzorowaniaRnnaRnoraz
funkcjerzeczywiste,tj.odwzorowaniaRnnaR1.NiechU,Vbędązbiorami
otwartymiwRniniechfbędzieodwzorowaniemUnaV,tj.jeżelix∈U,
tof(x)∈V.ZbiórUnazywamydziedzinąodwzorowania,azbiórf(U):=
{f(x):x∈U}⊂VjestobrazemzbioruUprzyodwzorowaniuf.Jeżelizbiór
W⊂f(U),tozbiórf11(W):={x∈U:f(x)∈W}⊂Ujestprzeciwobrazem
zbioruW.
Przypominamy,żeciągłośćodwzorowaniaf:U→Vdefiniujemypodobnie
jakdlafunkcjijednejzmiennej:odwzorowaniefjestciągłewpunkciexo∈U,
jeżelidlakażdegos>0istniejeδ>0takie,żejeżeli"x−xo"<δ,to
"f(x)−f(xo)"<s,ifjestciągłanaU,jeżelijestciągławkażdympunkcietego
zbioru.Ciągłośćmożnawyrazićbezużyciapojęciagranicy,zapomocązbiorów
otwartych.Równoważnadefinicjaciągłościbrzmibowiem:odwzorowanief
zbioruUnaVjestciągłewpunkciexo∈U,jeżelidlakażdegootwartego
otoczeniaW⊂Vpunktuf(xo)istniejetakieotoczenieUopunktuxo,że
f(Uo)⊂W.
Wynikazniej
TWIERDZENIE1.4.OdwzorowaniefzbioruUnazbiórVwRnjestciągłe
naUwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegozbioruotwartegoW⊂Vjego
przeciwobrazf11(W)⊂Ujestotwarty.
TwierdzenietojestsłusznewprzestrzeniachogólniejszychniżRn,jeżelityl-
kozdefiniowanesąwnichzbioryotwartepokrywającełącznietakąprzestrzeń
(sątoprzestrzenietopologiczne).Symbolf11oznaczatutajprzeciwobrazpew-
negozbioru,anieodwzorowanieodwrotne.Interesująnasodwzorowania,które
sąodwracalne.
DEFINICJA1.5.Odwzorowanief:U→Vjestbijekcją,jeżeli:
—jestróżnowartościowe(iniekcja),tzn.∀xjg∈U,jeżelix/=g,tof(x)/=
/=f(g),
—jestodwzorowaniemUnaV(suriekcja),tj.obrazemUjestcałyzbiór
V,f(U)=V,tzn.∀g∈Vistniejeconajmniejjedenpunktx∈Utaki,że
g=f(x).
Istniejewówczasodwzorowanieodwrotnef11:V
→f11(V)=U.Jeżeli
na
bijekcjafjestciągłanaUiodwzorowanieodwrotnef11jestciągłenaV=
=f(U),tofnazywamyhomeomorfizmem11UnaV.
11Pojęciehomeomorfizmu(zgreckiegohomoios—podobny,morphe—kształt)wprowadziłHenri
Poincaréw1895r.wdzieleAnalysissitus.
