Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Preliminaria
mygowektoremstycznym(wdanympunkcie)dosfery—nienależydoniej,
leczdoinnejprzestrzeni,zwanejprzestrzeniąstyczną(wtympunkcie)dosfery.
Przestrzeństycznajestzbioremwektorówstycznychwjednympunkciedosfe-
ry,jestwięcprzestrzeniąliniową,gdyżwektoryzaczepionewtymsamympunk-
ciemożnadodawać.Jakzobaczymydalej,przestrzeństycznąprzedstawiamy
graficzniejakopłaszczyznęstycznąwdanympunkciedosfery.Przedstawienie
toniejestmatematyczniewpełniścisłe,bowiemprzestrzeństycznajesttylko
przestrzeniąwektorową(wprzypadkusferydwuwymiarową),natomiastpłasz-
czyznastycznajest(jakkażdaprzestrzeńEn)euklidesowąprzestrzeniąafinicz-
ną.Cowięcej,płaszczyznystycznedosferynaogółsięprzecinają,awektorowe
przestrzeniestycznezdefinicjiniemogąsięprzecinać,ponieważrównośćdwu
wektorówzaczepionychwróżnychpunktachniejestokreślona.
Wprzypadkurozmaitościbędącychprzestrzeniamiliniowymi(En,
przestrzeńMinkowskiego3szczególnejteoriiwzględnościitp.)przestrzeństycz-
nanakładasięnarozmaitośćistądbierzesięprzekonanie—ukształtowane
wprzestrzenifizycznejutożsamianejniegdyśzE3—żewektoryleżąnasamej
rozmaitości.
Kluczowejestpojęciewektorawjednympunkcierozmaitości.Wnastęp-
nymkrokuwprowadzasięgładkiepolawektorowe,tj.zkażdympunktemroz-
maitości(lubpewnegojejobszaru)stowarzyszasięjedenwektorwtakispo-
sób,bywektorytezmieniałysięgładkoprzyprzejściudosąsiednichpunktów.
Przykładówpóljestmnóstwo:natężeniejednorodnegopolagrawitacyjnego
przypowierzchniZiemi,zmiennewprzestrzeni(iwolnowczasie)natężenie
polagrawitacyjnegowobszarzeUkładuSłonecznego,rozmaitepolaelektrycz-
neimagnetyczne,poleprędkościwodywbystrymstrumieniugórskim,pole
prędkościplanetywzdłużjejtrajektorii.WRnobliczaniepochodnychpo-
lawektorowegoprzebiegapodobniejakfunkcjirzeczywistych:różniczkujesię
oddzielniekażdąskładowąwektora.Narozmaitości,któraniejestprzestrzenią
liniową,takpostępowaćniemożna—okazałosię,żepodaniezadowalającej
definicjipochodnejpolawektorowegobyłonajwiększątrudnościąanalizyten-
sorowejizajęłowielelat.Pojawiasiętunowawielkość:koneksjaafiniczna.Jej
własnościstanowiątreśćrozdziału5.
1.3.Tensory
Linie,powierzchnie,figurypłaskieibryłyrozmaitychwymiaróworazpola
wektoroweniewyczerpująwszystkichobiektówgeometrycznych,jakiemożna
itrzebaskonstruowaćwprzestrzeniacheuklidesowychiogólniejszych.Pola
elektryczneimagnetycznesączęściamijednegoobiektufizycznego—pola
elektromagnetycznego—którepowinnobyćopisanejednymtworemmatema-
3Terminy„przestrzeńMinkowskiego”i„czasoprzestrzeńMinkowskiego”sąsynonimami.Tendrugi
jestużywanyczęściejwliteraturzefizycznej.
