Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Definicjarozmaitościróżniczkowej
41
precelwzdłużkrzywejCzaznaczonejnarys.2.1,otrzymamydwatorusyzwy-
ciętymotworemkołowym;każdyznichjestotwartymotoczeniemdowolnego
swojegopunktu,lecztepowierzchnieniesąwzajemniejednoznacznymob-
razemjakiegokolwiekzbioruotwartegonapłaszczyźnie.Należywziąćmałe
otoczenie:wyciąćzprecladrobnywycinekkołowylubwkształciepierścienia
poprzecznegodoskładowychtorusów.Przybijektywnymodwzorowaniuwy-
cinkapowierzchninafragmentpłaszczyznywycinektenulegadeformacji,po-
nieważwiększośćpowierzchni,np.sfera,jestzakrzywiona,cosprawia—znane
zkartografii—trudnościzobrazowaniemichnapłaszczyźnie.Deformacjete
sąbezznaczenia,bowiemnaogólnejrozmaitościniemapojęciaodległości,
polapowierzchnianikątów.Wtymsensiemożemyutożsamićkołowywycinek
sferyzkołemnapłaszczyźnie.WdefinicjirozmaitościzamiastEnposługi-
waćsiębędziemywektorowąeuklidesowąprzestrzeniąRn,chociażfaktycznie
wystarczywektorowaprzestrzeńtopologicznaRn.
Mnemotechnicznadefinicjarozmaitościbrzmi:rozmaitośćróżniczkowajest
przestrzenią,którejkażdydostateczniemałyfragmentwyglądajak(jestbijek-
tywnymobrazem)niewielkizbiórotwartywRn.
2.2.Definicjarozmaitościróżniczkowej
Ścisłepojęcierozmaitościkonstruujemyciągiemdefinicji.Zoczywistych
powodówterminologiazostałazaczerpniętazkartografii.
Rozpatrujemypewienzbiórpunktów(nprzestrzeń”)M.Wybieramypewną
rodzinę{Uo}jegopodzbiorów,takąbyzbiorytejrodzinypokrywałycałyzbiór
M,abybyłichsumąmnogościową:M=U
oUo.Mówimywtedy,żezbiory
tejrodzinystanowiąpokrycieprzestrzeni.Ozbiorachtychzakładamy,żenie
składająsięzrozłącznychczęści.JeżelizbioryUosąotwarte,tozakładamy,
żesąspójne.PodobniejakwRnzbiórotwartyUjestspójny,jeżeliniedasię
przedstawićjakosumamnogościowadwuzbiorówotwartychU1iU2,któresą
rozłączne,tj.gdyU/=U1UU2orazU1ΠU2=∅(jestzbiorempustym).
IndeksOnumerujezbiorytejrodziny;możeonoznaczaćkilkaparametrów
przyjmującychwartościdyskretnelubciągłe.NasferzezbioramiUomogąbyć
np.otwartewycinkikołowe;środkitychkółmająwspółrzędnegeograficznewy-
rażonewstopniachirówneliczbomcałkowitymprzebiegającymcałyzakres
zmiennościdługościOiszerokościδ.Jednemuśrodkowiowspółrzędnychgeo-
graficznych(Ojδ)odpowiadanieskończeniewielekółopromieniach(liczonych
wzdłużłukuodpowiedniegopołudnika)równychwszystkimdodatnimliczbom
wymiernymmniejszymod1.TakichzbiorówUojestprzeliczalniewiele.Ana-
logicznychprzeliczalnychpokryćsferyjestnieskończeniewiele.Rozpatrujemy
tylkotakieprzestrzenieM,któremożnapokryćprzeliczalnąilościązbiorów
Uo,bowiemprzestrzenie,wktórychjesttoniemożliwe,sąwpewnymsensie
matematyczniepatologiczne.JeżeliMjestprzestrzeniązamkniętą(sfera,to-
ruslubsferaznuchami),tomożnająpokryćskończonąliczbązbiorów.Na
