Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1.Wprowadzenie–nieliniowesystemydynamiczne
NiechC(R)będzieprzestrzeniąograniczonychfunkcjiciągłychznormą
"x(t)"=supt∈R|x(t)|.PrzezF[x(t)]będziemyoznaczaćogólniedynamiczny
systemnieliniowy,tj.operatorprzekształcającysygnałwejściowyx(t)∈C(R)
wsygnałwyjściowyy(t)∈C(R).Innymisłowybędziemypisaćy(t)=
F[x(t)],mającnamyślizależnośćy(t)odx(t)wpełnymhoryzonciecza-
sowym.NotacjaF[x(0)]będzienatomiastoznaczaćwartośćsygnałuwyjścio-
wegoy(t)wchwilit=0.Poniżejpodajemydefinicjęwłasnościzanikającejpa-
mięcizaproponowanąwpracy[11],wskazującjednak,żepojęcietobyłowcze-
śniejnieformalnierozważaneprzezVolterrę,[130]iWienera,[147].
Definicja1.1([11])SystemnieliniowyF[x(t)]posiadawłasnośćzanikają-
cejpamięcidlaklasysygnałówwejściowychK⊂C(R),jeżeliistniejemalejąca
funkcjaw(t):R+→(0j1],limt→∞w(t)=0,taka,żedlakażdegox(t)∈K
iε>0istniejetakaδ>0,żedlakażdegou(t)∈Knierówność
sup
t≤o
|x(t)−u(t)|w(−t)<δ
implikuje
|F[x(0)]−F[u(0)]|<ε.
Definicja1.1swojąstylistykąprzypomina„epsilonowo–deltowe”sformuło-
waniepojęciaciągłościfunkcjiwujęciuCauchy’ego.Wkolejnychrozdziałach
będziemytakżerozważaćinneokreśleniawłasnościzanikającejpamięci,na-
wiązującjednakdo„ciągowej”definicjiHeinego(por.rozdz.4.).
Oileprecyzyjnainterpretacjawarunkówiimplikacjizawartychwdefinicji
1.1możenastręczaćpewnychtrudności,otylezasadnicząideędajesięwyrazić
stosunkowoprosto.Mianowiciejeżelisystemposiadawłasnośćzanikającejpa-
mięci,towartośćjegoodpowiedziy(t)wustalonejchwilit=0,przypobudze-
niu{x(t)jt≤0},będziebliskaodpowiedzinapobudzenie{u(t)jt≤0},jeżeli
sygnałyx(t)iu(t)sąsobiebliskie„wteraźniejszości”,mimoiżmogłyróżnić
sięwprzeszłości.Zpunktuwidzeniazastosowańpraktycznychklasasystemów
spełniającychwymaganiadefinicji(1.1)jestwięcniezwykleobszerna–wszcze-
gólnościzawieranp.wszystkiestacjonarneiliniowesystemydynamiczne,które
dasięopisaćzwiązkiemsplotowym(1.1);[11,uwaga3.,twierdzenie5.].
NiechterazKLoznaczaprzestrzeńsygnałówograniczonych(przezpewną
stałąM1<∞)orazlipschitzowskich(zestałąM2<∞),tzn.
KL={x∈C(R)|"x"≤M1j|x(t1)−x(t2)|≤M2(t1−t2)dlat2≤t1}.
(1.11)
10