Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
Rozdział1.Przedmowa
kiegoprzecięcietakiegozbioruzk-wymiarowąliniowąpodprzestrzeniąma
kształtbliskielipsoidzie,azniekształcenieelipsoidymalejeasymptotycznie
dozerawrazzewzrostemwymiaruprzestrzeni.Milmanwswoimdowodzie
użyłzarównolosowychprojekcjijakiwłasnościkoncentracjimiarynasferze,
pokazując,żelosowapodprzestrzeńznormąeuklidesowąjestwprzybliżeniu
izometrycznazoryginalnąprzestrzenią.
Bardzoważnąrolęw”przeniknięciu”tychideidoszerokorozumianychza-
stosowańodegrałlematJohnsona-Lindenstraussaopublikowanyw1984roku
[165],któryodnosisiędometrycznychprzestrzeniskończonych,reprezentowa-
nychprzezskończonekonfiguracjepunktów.LematJohnsona-Lindenstraussa
gwarantujeistnieniefunkcjitransformującejtękonfiguracjępunktówdoniżej
wymiarowejprzestrzenizmetrykąeuklidesową,którawprzybliżeniu,zma-
łymbłędemwzględnym,zachowujeodległościpomiędzypunktami.Tymra-
zemwymiarprzestrzeni,zktórejpochodziwspomnianakonfiguracjapunktów,
niejestistotny.Ważnajestnatomiastlicznośćzbiorutworzącegokonfigurację
punktów.Tocołączyobatwierdzenia,toaspektyzwiązanezredukcjąwymia-
ru.Redukcjatamożebyćuzyskanadrogąlosowychprojekcji,atwierdzenia
okoncentracjigwarantująwysokieprawdopodobieństwozachowanianormy
(bądźmetryki)zniewielkimzniekształceniemjejwartości.
Problematykaredukcjiwymiarujestbardzoszerokaizdecydowaniewykra-
czapozazakrestejksiążki.Losoweprojekcjewidzianewkontekścieredukcji
wymiarusąniewątpliwiemetodąprostą,arównocześnienadspodziewanieefek-
tywną.Wprzypadkuproblemówowysokimwymiarzelosowość,którawiąże
sięzwyklezniepewnością,stajesię,dziękizjawiskomkoncentracjimiary,
czymśzadziwiającopewnym.
NiemogęwtymmiejscupowstrzymaćsięodzwróceniauwagiCzytelnika
nacałkieminnąklasęmetodredukcjiwymiaru,któresąopartenawłasno-
ściachkrzywychwypełniających,ponieważwielelatswojejpracyzawodowej
poświęciłamzastosowaniomkrzywychwypełniającychwrozwiązywaniuwie-
lowymiarowychproblemów[276],[280],[277],[281],[282],[292].Krzywewy-
pełniające,aconajmniejwiększośćznich,zachowująprzytransformacjimiarę
Lebesgue(a,natomiasttylkoczęściowozachowująbliskość.Zpunktuwidzenia
zakresuzastosowańznajdująsięnaprzeciwległymbieguniewstosunkudoli-
niowychlosowychprojekcji,gdyżsąskutecznetylkowprzypadkuproblemów
owymiarachniezbytdużychwstosunkudotych,którerozpatrywanesąwtej
monografii.Tocołączyobapodejścia,toichprostotaiglobalnycharakter.
Przedstawionywksiążcemateriałnieobejmujenapewnocałościtematy-
kilosowychprojekcji.Jestmoimosobistymwyborem,zdominowanymprzez
