Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
PRZYKŁAD3
Rozwiążemyrównanie
dy
dx
+
1
x
y+x3y2=0
zdodatkowymwarunkiemy(1)=1.
Rozwiązanie:Porównującz(2.5),zauważmy,żejesttorównanieBernoulliegozn=2,podsta-
wiamyzatemu=y1–n=1/y.Otrzymujemywówczas
du
dx
–
x
1
u=x3.
Rozwiązaniemtegoliniowegorównaniaróżniczkowegopierwszegorzędujest
u
x
=
x3
3
+c,
awięc
y(x)=
3cx+x4
3
(wzadaniu11należywykazać,żerzeczywiściejesttorozwiązanienaszegorównania).Zwarun-
kuy(1)=1mamyc=2/3,takwięcposzukiwaneprzeznasrozwiązanieszczególneto
y(x)=
2x+x4
3
.
ZADANIADOPODROZDZIAŁU11.2
1.Znajdźrozwiązaniaogólnenastępującychrównańróżniczkowych:
(a)
dy
dx
=x2–3x2y.
(b)
dy
dx
+
2
x
y=x2+2.
2.Znajdźrozwiązaniaogólnenastępującychrównańróżniczkowych:
(a)
dy
dx
=2y–
3x
y
.
(b)t
ds
dt
=(3t+1)s+t3e3t.
3.Znajdźrozwiązaniarównań:
(a)x
dy
dx
+y=2xdlay=2,x=2.
(b)
dy
dx
+(tgx)y=cos2xdlay=–1,x=0.
4.Znajdźciągłerozwiązanierównaniady/dx+2xy=f(x),gdzie
f(x)=x,0≤x<2,
0,
x≥2
orazy(0)=2.
5.Znajdźrozwiązaniaogólnenastępującychrównańróżniczkowych:
(a)(x+y2)dy/dx=1.
(b)dI/dt=3I–5sint.
