Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
16.Wkinetycechemicznejiprzybadaniuinnychstopniowychprzemianczęstonapotykamy
schematA⇋BopisującyprzemianędwóchsubstancjiAiB.Równanieopisującetempotej
przemianytodA/dt=–k1A+k2B,gdziek1ik2sąstałymiszybkościtejprzemiany.Zasada
zachowaniamasywymaga,byA(t)+B(t)=A0+B0,gdzieA0=A(0)iB0=B(0).
RozwiążpowyższerównanieiznajdźA(t)orazB(t).
17.Rozwiążrównaniey,=1+2xy,wyrażającwynikzapomocąfunkcjibłędu.
18.Wyznaczrównaniekrzywejprzechodzącejprzezpunkt(1,2),dlaktórejtangenskątanachy-
leniastycznejwdowolnymjejpunkcie(x,y)jestrówny2–y/x.
19.Wzbiornikuznajdujesię100litrówroztworusoliostężeniu200gramównalitr.Wlewamy
doniegoroztwórsoliostężeniu2gramynalitrzszybkością10litrównaminutę;roztwór
wypływateżzezbiornika,zszybkością5litrównaminutę.Oblicz,jakabędzieminimalna
ilośćsoliwzbiornikuikiedytominimumzostanieosiągnięte.Załóż,żecieczwzbiorniku
jestintensywniemieszana—awięcmożemyzałożyć,żestężenieroztworuwcałymzbior-
nikujestjednakowe.
20.Rozwiążrównaniex2dy/dx+xy=sinxzwarunkiemy=2,gdyx=1.Wskazówka:
Wynikpozostawwpostacicałkioznaczonej.
11.3.JEDNORODNERÓWNANIA
RÓŻNICZKOWELINIOWE
OSTAŁYCHWSPÓŁCZYNNIKACH
Wpoprzednimpodrozdzialeznaleźliśmyrozwiązanieogólnerównaniaróżniczkowego
liniowegopierwszegorzędu.Wogólnościniejesttomożliwedlarównańliniowych
wyższegorzędu.Wtympodrozdzialeprzekonamysięjednak,żejeżeliwspółczynniki
równaniasąstałe,topotrafimyjerozwiązać.Naszczęściebardzowielerównańróżnicz-
kowych,jakienapotykamywzagadnieniachfizycznych,torównaniaostałychwspół-
czynnikach.Zaczniemyodrozważeniapewnychogólnychwłasnościrównańróżniczko-
wychliniowychwyższegorzędu,anastępnieograniczymysiędobadaniatylkotych,
którychwspółczynnikisąstałe.
Ogólnapostaćrównaniaróżniczkowegoliniowegon-tegorzęduto
an(x)
dny
dxn
+an–1(x)
dn–1y
dxn–1
+···+a1(x)
dy
dx
+a0(x)y=f(x),
(3.1)
przyczymbędziemyzawszezakładać,żewspółczynnikiaj(x)sąciągłymifunkcjami
zmiennejxnapewnymprzedziale(α,β).Zauważcie,żeyijegopochodnewystępu-
jątylkowpierwszejpotędzeiżeniemawyrazówmieszanych.Jeżelif(x)=0,to
mówimy,żerównanie(3.1)jestjednorodne,wprzeciwnymraziemamydoczynienia
zrównaniemniejednorodnym.Wygodniejestczasemzapisywaćtorównaniewskróco-
nejpostaci
Ly=f(x),
(3.2)
