Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
11.RÓWNANIARÓŻNICZKOWEZWYCZAJNE
W(f1,f2,...,fn)=
l
l
l
l
l
l
f1
f,
.
.
1
f2
···
fn
l
l
l
l
l
f
1
(n–1)
f
2
(n–1)
f,
.
.
2
···
···
f(n–1)
n
f,
.
.
.
n
l
l
l
l
l
l
l
/=0
...
(3.8)
.
.
dlajakiegośxwprzedziale(α,β).Wyznacznikwystępującyw(3.8)nazywamywroń-
skianem(wyznacznikiemWrońskiego),anierówność(3.8)jestkryteriumliniowejnie-
zależnościfunkcjif1,...,fn.
PRZYKŁAD1
Funkcjey1(x)=ex,y
2(x)=xexorazy
3(x)=x2exsąrozwiązaniamirównania
y,,,–3y,,+3y,–y=0.
Czysąoneliniowoniezależne?
Rozwiązanie:Współczynnikirównaniaróżniczkowegosąciągłe(sąbowiemstałe),wrońskianzaś
jestrówny
W=
l
l
l
l
l
ex
ex
ex+xex
xex
x2ex
l
l
l
l
=2e3x/=0.
2xex+x2ex
l
l
ex
2ex+xex2ex+4xex+x2ex
l
l
l
Tetrzyrozwiązaniasązatemliniowoniezależnenadcałąosiąrzeczywistą.
Wdalszejczęścipodrozdziałuzajmiemysięwyłączniejednorodnymirównaniami
różniczkowymiliniowymiostałychwspółczynnikach.Ichwłasnościnajlepiejbadaćna
przykładach.Zacznijmyodrównania
y,,(x)+y,(x)–6y(x)=0.
(3.9)
Równanietobędziespełnioneprzezfunkcję,którejpochodnesąwielokrotnościamijej
samej.Przykłademtakiejfunkcjijesteαxdlastałejα.Podstawieniey=eαxdo(3.9)daje
nam
(α2+α–6)eαx=0.
Ponieważex/=0,więcztegorównaniawynika,że
α2+α–6=0,
(3.10)
azatemα=2lubα=–3.Funkcjee2xie–3xsądwomarozwiązaniamirównania(3.9),
rozwiązanieogólnemapostać
y(x)=c1e
2x+c
2e
–3x.
Równanie(3.10)nazywamyrównaniemcharakterystycznymrównania(3.9).
PRZYKŁAD2
Znajdziemyrozwiązanierównania
y,,+y,–2y=0
spełniającewarunkiy(0)=0iy,(0)=6.
