Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
11.3.JEDNORODNERÓWNANIARÓŻNICZKOWELINIOWE
19
Rozwiązanie:Równaniecharakterystycznetoα2+α–2=0,skądα=1lub–2.Rozwiązanie
ogólnemapostać
y(x)=c1e
x+c
2e
–2x.
Gdydołożymywarunki
y(0)=0iy,(0)=6,
otrzymamyukładrównań
c1+c2=0,c1–2c2=6,
któregorozwiązaniamisąc1=2ic2=–2.Poszukiwanerozwiązanieszczególneto
y(x)=2ex–2e–2x.
Gdypróbujemywpowyższysposóbrozwiązaćrównanie
y,,(x)–2y,(x)+y(x)=0,
(3.11)
wówczasrównaniecharakterystyczne(α2–2α+1=0)matylkojednorozwiązanie:
α=1.Mamywięcjednorozwiązanie:y(x)=ex,byjednakskonstruowaćrozwiąza-
nieogólne,potrzebujemyjeszczejednego,liniowoniezależnegorozwiązania.Sytuacja,
wktórejmamyjednorozwiązanieiposzukujemydrugiego,jestdośćczęsta.Możnaje
znaleźć,korzystajączbardzoeleganckiejmetodyzwanejredukcjąrzędu.Znamyjedno
rozwiązanie:y(x)=cex.Byznaleźćdrugie,zakładamy,żejestonopostaci
y(x)=u(x)ex,
(3.12)
gdzieu(x)musimyjeszczewyznaczyć.Podstawienie(3.12)dorównania(3.11)danam
u,,(x)ex=0.
Wiemyjednak,żeex/=0,azatemu,,(x)=0,skądu(x)=c
1x+c2.Gdywstawimyten
wynikdo(3.12),otrzymamy
y(x)=(c1x+c2)e
x=c
1xex+c
2e
x.
(3.13)
Funkcjeexixexsąliniowoniezależne(przykład1),awięc(3.13)torozwiązanieogólne
równania(3.11).
Rozwiązaliśmykonkretnyprzykład,metodatajestjednakogólna.
PRZYKŁAD3
Znajdziemyrozwiązanieogólnerównania
y,,,(x)–3y,(x)+2y(x)=0.
Rozwiązanie:Równaniecharakterystycznetoα3–3α+2=0.Łatwomożnasprawdzić,żeα=1
jestjegorozwiązaniem.Gdyjednakpodzielimy
α3–3α+2
przez
α–1,
otrzymamy
α2+α–2,
awięcpozostałepierwiastkirównaniacharakterystycznegotoα=1iα=–2.Pierwiastek
α=1jestpierwiastkiemwielokrotnym,podstawiamywięcdonaszegorównaniaróżniczkowego
y(x)=u(x)ex:
(u,,,+3u,,)ex=0,
czyliu,,,+3u,,=0.Równanietomożemyrozwiązać,podstawiającnapocząteku,,=z;otrzy-
mujemyrównaniez,+3z=0.Rozwiązaniemtegorównaniajest
z=u,,=e–3x.
