Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
k>4,tojestprawdziwykrokindukcyjny
1.Metodydowodzeniatwierdzeń
1·2·...·k>2k
⇒1·2·...·k·(k+1)>2k+1.
Atojestbardzoproste.Mamybowiem
1·2·...·k·(k+1)>2k·(k+1)>2k·2,
gdyżk+1>5>2.Zatem,zgodniezzasadąindukcji,nierówność
1·2·...·n>2n
jestprawdziwadlakażdejliczbynaturalnejn>4.
Zasadaindukcjimatematycznejjestpowszechniestosowanąmetodądo~
wodzeniatwierdzeń.Poniżejprzedstawiamykilkaklasycznychprzykładów
wykorzystującychtęzasadę.Zetkniemysięzniąjeszczewielokrotniewko~
lejnychrozdziałachksiążki.
Przykład1.7.Znaleźćiudowodnićwzórnasumępierwszychnliczbnatu-
ralnych.
Rozwiązanie.Niech
S(n)=1+2+...+n.
ObliczmykilkapierwszychwartościdlasumyS(n).MamyS(1)=1,S(2)=3,
S(3)=6,S(4)=10,S(5)=15itd.Zauważmy,że
2·S(1)=2=1·2,
2·S(2)=6=2·3,
2·S(3)=12=3·4,
2·S(4)=20=4·5,
2·S(5)=30=5·6.
Możemyzatempostawićhipotezę,żedlakażdegonaturalnegon>1,
2·S(n)=n(n+1).
Pokażemy,żetakjestrzeczywiście.Niech
(1.2)
p(n):sumaS(n)pierwszychnliczbnaturalnychjestrówna
n(n+1)
2
.
