Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Zasadaindukcjimatematycznej
15
wiemyjuż,żewarunekpoczątkowyp(1)jestprawdziwy.Załóżmywięc,że
p(k)jestprawdą.Musimywykazać,żezdaniep(k+1)jesttakżeprawdziwe,
tojest,żezachodzi
S(k+1)=
(k+1)(k+2)
2
.
(1.3)
DOWÓDTEZYINDUKCYJNEJ:
S(k+1)=1+2+...+k+(k+1)
=S(k)+(k+1)
=
k(k+1)
2
+(k+1)
skądnatychmiastotrzymujemy(1.3).
Takwięc,namocyzasadyindukcjimatematycznej,p(n)jestprawdziwe
dlawszystkichliczbnaturalnychn>1.
PrzykładowoprzytoczmypomysłGaussanawyliczenieS(n),doktórego
doszedłon,majączaledwiedziewięćlat.Polegaonnadodaniuelementów
dwóchciągów:S(n)iS(n)zapisanegowodwrotnejkolejności.
+S(n)
S(n)
=
=
1
+
+
(n−1)
2
+
+
...
...
+
+
(n−1)
+
n
n
2
+
1
2S(n)
=
(n+1)
+
(n+1)
+
...
+
(n+1)
+
(n+1)
Pouproszczeniumamyoczywiściewzór(1.2).
Przykład1.8.Znaleźćiudowodnićwzórnasumęsześcianównpierwszych
liczbnaturalnych?tzn.nasumę
13+23+...+n3.
Rozwiązanie.Rozpatrzmykilkapierwszychprzypadków:
•13=1=12
•13+23=9=32
•13+23+33=36=62
•13+23+33+43=100=102
•13+23+33+43+53=225=152.
ZPrzykładu1.7wiemy,żeS(1)=1,S(2)=3,S(3)=6,S(4)=10,
S(5)=15itd.Stądmożemyprzypuszczać,żedlan>1prawdziwyjest
wzór
13+23+...+n3=(S(n))2=(
n(n+1)
2
)
2
.
(1.4)
Udowodnimytęhipotezę,stosujączasadęindukcjimatematycznej.
