Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Zasadaindukcjimatematycznej
3.Tezaindukcyjna:istniejetakaliczbacałkowitam,że
6(k+1)+2+72(k+1)+1=43·m.
DOWÓDTEZYINDUKCYJNEJ:Zauważmy,że
6k+3+72k+3=6(6k+2+72k+1)−6·72k+1+72k+3
=6(6k+2+72k+1)+72k+1(72−6)
=6·43·l+43·72k+1
=43(6·l+72k+1).
17
Ponieważ6·l+72k+1jestliczbącałkowitą,więctezaindukcyjnazostałaudo~
wodniona,czylinaszetwierdzeniejestprawdziwedlakażdegonaturalnego
n>1.
Przykład1.10.Pokazać?żedlakażdegonaturalnegon>4?
3n>n3.
Rozwiązanie.
1.Sprawdzeniedlan=4
34=81>64=43.
2.Założenieindukcyjne:zakładamy,żedlak>4
3k>k3.
3.Tezaindukcyjna:dlak>4
3k+1>(k+1)3.
DOWÓDTEZYINDUKCYJNEJ:Ponieważ
(k+1)3=k3+3k2+3k+1=k3(1+
3
k
+
k2
3
+
k3)
1
izzałożeniaindukcyjnegok3<3k,więcotrzymamyżądanąnierów~
ność,jeżelidlak>4prawdąjest,że
1+
k
3
+
k2
3
+
k3
1
<3.
