Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Zbiory,ciągiifunkcje
PRZYKŁAD1
(a)MamyP⊆N,N⊆Z,Z⊆Q,Q⊆R.Takjakwprzy-
padkuznanejrelacjinierówności≤,możemyzapisaćtestwier-
dzeniarazem
P⊆N⊆Z⊆Q⊆R.
(b)Ponieważ2jestjedynąparzystąliczbąpierwszą,mamy
{n∈P:njestliczbąpierwsząin≥3}
⊆{n∈P:njestliczbąnieparzystą}.
(c)WeźmyznówdowolnyzbiórS.Oczywiście,jeślix∈S,to
x∈S,awięcS⊆S.Tooznacza,żedowolnyzbiórjestswoim
własnympodzbiorem.Towłaśniedlategoużywaliśmyoznaczenia
⊆,anie⊂.Tooznaczeniejestpodobnedooznaczenia≤dlaliczb
rzeczywistych.Nierównośćx≤5jestprawdziwadlawieluliczb,
takichjaknaprzykład3,1oraz−73.Jestonateżprawdziwadla
x=5,tzn.5≤5.Taostatnianierównośćwyglądatrochędziwnie,
ponieważtaknaprawdęwiemywięcej,mianowicie,że5=5.Ale
„5≤5”oznacza,że„5jestmniejszeod5lub5jestrówne5”
ijesttostwierdzenieprawdziwe.Podobnie,stwierdzenie,żeS⊆S
jestprawdziwe,chociażwiemywięcej,mianowicie,żeS=S.
Stwierdzeniatakie,jak„5=5”,„5≤5”,„S=S”czy„S⊆S”
nieprzeszkadzają,aczęstoprzydająsiędozwróceniauwagina
to,żezachodziszczególnyprzypadekstwierdzeniaogólniejszego.1
BędziemyczasamipisaćT⊂Smającnamyśli,żeT⊆S
iT/=S,tzn.zbiórTjestpodzbioremzbioruS,różnymodS.
Znaku⊂używamypodobniejakznaku<dlaliczbrzeczywistych.
JeśliT⊂S,tomówimy,żeTjestwłaściwympodzbioremS.
Wprowadzimyterazoznaczeniadlapewnychszczególnych
podzbiorówzbioruR,nazywanychprzedziałami.Dlaa,b∈R,
gdziea<b,określamy
[a,b]={x∈R:a≤x≤b};
(a,b)={x∈R:a<x<b};
[a,b)={x∈R:a≤x<b};
(a,b]={x∈R:a<x≤b}.
Ogólnazasadajesttaka:nawiasy[,]oznaczają,żekońceprze-
działunależądoniego,anawiasy(,)oznaczają,żeprzedział
ichniezawiera.Przedziałypostaci[a,b]nazywamyprzedziałami
domkniętymi,przedziałypostaci(a,b)nazywamyprzedzia-
łamiotwartymi.Wygodniejestteżużywaćnazwy„przedział”
dlapewnychnieograniczonychzbiorów,którezapisujemyzapo-
1Będziemyużywaćznaku
dozaznaczeniakońcaprzykładulubdowodu.
