Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.1.Niektóreszczególnezbiory
19
mocąsymboli+∞i−∞,nieoznaczającychliczbrzeczywistych,
alestanowiącychpoprostufragmentyoznaczeńtychzbiorów.
Zatem
[a,∞)={x∈R:a≤x};
(a,∞)={x∈R:a<x};
(−∞,b]={x∈R:x≤b};
(−∞,b)={x∈R:x<b}.
Oznaczeńzbiorówiprzedziałównależyużywaćstarannie.Na
przykład[0,1],(0,1)i{0,1}oznaczająróżnezbiory.Wrzeczywi-
stości,przedziały[0,1]i(0,1)sązbioraminieskończonymi,pod-
czasgdyzbiór{0,1}matylkodwaelementy.
Rozważmynastępującezbiory:
{n∈N:2<n<3},
{x∈R:x2<0},
{r∈Q:r2=2},{x∈R:x2+1=0}.
Zbiorytemająjednąwspólnąwłasność:niemajążadnychele-
mentów.Zczystologicznegopunktuwidzenia,wszystkieone
majątesameelementy,awięcsąrówne,mimożesązapisane
wróżnysposób.Tenjedynyzbiórniemającywogóleelemen-
tów,nazywamyzbiorempustym.Będziemyużywaćdlaniego
dwóchoznaczeń,przemawiającegodowyobraźnioznaczenia{}
istandardowegooznaczeniaØ.SymbolØniejestgreckąliterąφ
(fi);jestonliterązapożyczonązalfabetunorweskiegoinależygo
czytaćjako„zbiórpusty”.Przyjmujemy,żeØjestpodzbiorem
każdegozbioruS,gdyżzdanie„jeślix∈Ø,tox∈S”uważamy
zalogicznieprawdziwe.Musiszprzyjąćtowyjaśnienie„nawiarę”,
dopókinieprzeczytaszparagrafu2.3.
Zbiorysąobiektami,awięcmogąbyćelementamiinnychzbio-
rów.Zbiór{{1,2},{1,3},{2},{3}}maczteryelementy,miano-
wiciezbiory{1,2},{1,3},{2}i{3}.Gdybyśmymielipudełkoza-
wierającedwaworeczkizkulkami,totraktowalibyśmyjejako
pudełkozworeczkami,aniepudełkozkulkami,więcmiałoby
onodwaelementy.Podobnie,jeśliAjestzbiorem,to{A}jest
zbioremmającymjedenelement,mianowicieA,niezależnieod
tego,ileelementówmasamzbiórA.Pudełkozawierającepusty
woreczekzawieracoś,mianowicieworeczek,awięcniejestpu-
stympudełkiem.Wtensamsposób,{Ø}jestzbioremmającym
jedenelement,podczasgdyØjestzbioremniemającymelemen-
tów,zatem{Ø}iØsąróżnymizbiorami.MamyØ∈{Ø},a
nawetØ⊆{Ø},aleØ/∈Ø.
ZbiórwszystkichpodzbiorówzbioruSnazywamyzbiorem
potęgowymzbioruSioznaczamysymbolemP(S).Oczywiście
zbiórpustyØisamzbiórSsąelementamiP(S),tzn.Ø∈P(S)
iS∈P(S).
